Derivada funcional en el método Faddeev Popov (Lorenz Gauge)

$$\begin{align}{\rm Det} \left(\frac{\delta G}{\delta \alpha}\right) ~=~&\int {\cal D}c{\cal D}\bar{c}\exp\left(\int \!d^4x \int \!d^4y ~\bar{c}(x)\frac{\delta G(x)}{\delta \alpha(y)}c(y) \right) \cr ~=~&\int {\cal D}c{\cal D}\bar{c}\exp\left(\int \!d^4x \int \!d^4y ~\bar{c}(x) \frac{1}{e}\partial_x^2\delta(x-y) c(y) \right)\cr ~=~& {\rm Det} \left(\frac{1}{e}\partial^2\right).\end{align}$$

Esto debería ser más o menos familiar al obtener las reglas habituales de Feynman a partir de la formulación de la integral de trayectoria, aunque tal vez no se exprese de esta manera.

En pocas palabras, el determinante funcional de un operador se define mediante la fórmula de registro de seguimiento,

$$\det A=e^{\text{tr}\log A}$$ que se puede probar pensando en los valores propios. Sin embargo, para que estas operaciones tengan sentido en un operador diferencial, generalmente nos trasladamos a la base de Fourier, donde todas las derivadas son solo momentos.

De hecho, esto es lo que hacemos cuando escribimos las reglas de Feynman. Recuerde que al calcular la aproximación del punto silla de la integral de trayectoria (con fuente$J\phi$) resulta en

$$Z[J]\sim e^{J^T\Delta J},$$ integraciones apropiadas implícitas. A partir de aquí empleamos los trucos habituales de tomar$J$derivadas para obtener correladores, esto$\Delta$siendo el propagador de Feynman.

La forma en que funciona esta aproximación es escribiendo la acción que Taylor expandió a segundo orden alrededor del punto de silla (que generalmente se toma como$\phi=0$en Peskin y Schroeder, pero no tiene por qué serlo y, de hecho, este hecho tiene implicaciones importantes relacionadas con los instantones), por lo que escribimos

$$S[\phi]=S_0+\frac{1}{2}\phi \frac{\delta^2 S}{\delta \phi\delta\phi}\phi+J\phi + \mathcal{O}(\phi^3),$$ integraciones nuevamente implícitas como necesarias. En el caso típico de un campo escalar, $$\frac{\delta^2 S}{\delta \phi\delta\phi}=\partial^2-m^2$$ hasta señales.

Aquí es donde todo se junta, por supuesto sabemos que el propagador de Feynman debería ser el inverso de este operador.$\partial^2-m^2$, pero el truco que solemos emplear es pasar a la base de Fourier, donde este operador es$-k^2-m^2$por lo que su inversa está dada por

$$\frac{-1}{k^2+m^2},$$ que es el propagador hasta un factor de$i$.

Entonces preguntando sobre el determinante de$\partial^2$no debería ser tan terrible a la luz del hecho de que invertimos el operador$\partial^2-m^2$todo el tiempo (aunque es cierto que objetivamente es peor calcular).