Derivación de la ecuación de Schrödinger para un sistema con masa efectiva dependiente de la posición

Además de las respuestas de Claudius y Ron Maimon, me gustaría hacer tres comentarios:

1. Clásicamente, la función hamiltoniana para la aproximación de masa efectiva dice

   $$\tag{1} H({\bf r}, {\bf p})~:=~\frac{{\bf p}^2}{2m^*({\bf r})}+V({\bf r}).$$

2. Mecánicamente cuántica, cuando se cuantifica el modelo clásico (1), se debe elegir una opción autoconsistente para el operador hamiltoniano$\hat{H}$. Es natural reemplazar la variable clásica${\bf r}$y${\bf p}$en el hamiltoniano (1) con los operadores

   $$\tag{2}\hat{\bf r}~=~{\bf r} \qquad\text{and}\qquad \hat{\bf p}~=~\frac{\hbar}{i}\nabla$$ (en la representación de Schrödinger). Pero, ¿qué operador de prescripción debe elegir? Una elección natural, que (bajo condiciones de contorno apropiadas) hace que el hamiltoniano sea hermitiano, es $$\tag{3} \hat{H}~:=~\hat{\bf p}\cdot \frac{1}{2m^*(\hat{\bf r})}\hat{\bf p}+V(\hat{\bf r})~=~-\frac{\hbar^2}{2}\nabla\cdot \frac{1}{m^*({\bf r})}\nabla+V({\bf r}).$$

3. Finalmente, mencionemos un operador hamiltoniano hermitiano algo relacionado/generalizado

   $$\tag{4} \hat{H}~=~-\frac{\hbar^2}{2}\Delta_g +V({\bf r}),$$ lo que puede dar otro modelo de masa efectiva útil (anisotrópico). Aquí$\Delta_g$es el operador de Laplace-Beltrami para un riemanniano$3\times 3$métrico$g_{ij}=g_{ij}({\bf r})$, que, en términos generales, puede verse como un tensor de masa efectivo (anisotrópico).

Un hamiltoniano debe ser autoadjunto. La ecuación también debe reducirse a la ecuación familiar en el caso de una masa constante. Ahora la forma del operador ya está determinada como la única generalización autoadjunta simple de la ecuación de Schroedinger independiente de la posición al caso dependiente de la posición.

Si te especializas en 1 dimensión, obtienes la ecuación de Sturm-Liouville. En
http://en.wikipedia.org/wiki/Sturm-Liouville_theory
puede encontrar una discusión sobre su autoadjunción. Todo se generaliza al caso PDE.

Para la derivación de la ecuación de Schrödinger de PDM, véase K. Young, Phys. Rev. B 39, 13434–13441 (1989) "Masa efectiva dependiente de la posición para semiconductores no homogéneos" . Resumen.: Se adopta un enfoque sistemático para extraer un hamiltoniano efectivo de baja energía para cristales con una falta de homogeneidad que varía lentamente, resolviendo varias controversias. Se muestra que la masa efectiva$m_R$es, en general, dependiente de la posición y entra en el operador de energía cinética como$-\nabla({m_R-1})\nabla/2$. Se enfatiza la ventaja de usar un conjunto base que diagonalice exactamente al hamiltoniano en el límite homogéneo.

La derivación es sencilla si considera que la fuente de la masa efectiva es un parámetro de salto que varía lentamente en un modelo de enlace estrecho (partículas de celosía). Aquí tienes una partícula en una red cuadrada con una amplitud de probabilidad para ir a la izquierda, derecha, arriba y abajo, adelante, atrás. El principal requisito físico es la hermiticidad, que en 1d se puede utilizar (con una selección de fase en la función de onda) para convertir la fase en real en todas partes.

Una vez que haga esto, hay una amplitud real en el sitio n para saltar un cuadrado a la derecha r(n) y una amplitud para saltar un cuadrado a la izquierda, que por hermiticidad y realidad, debe ser r(n-1)- -- debe ser el complejo conjugado de la amplitud para saltar a la derecha desde la posición n-1. Entonces la ecuación de amplitud es

Esto es, cuando r varía lentamente, equivalente a la ecuación continua encontrada por Taylor expandiendo y manteniendo solo los términos más relevantes:

Como señaló Feynman pero nunca lo publicó (Dyson publicó este comentario póstumamente, en un artículo en el American Journal of Physics titulado algo así como "La derivación de Feynman de las ecuaciones de Maxwell a partir de la ecuación de Schrödinger"), el truco de fase de Dirac no funciona en dimensiones superiores, porque no puede arreglar todas las fases. Entonces los conmutadores tienen una suma de campo magnético, y para que sea consistente, el campo magnético tiene que terminar obedeciendo la ecuación de Maxwell, ya que la rotación de fase da una simetría U(1). Esta no es una verdadera derivación de la física de Maxwell a partir de la mecánica cuántica, es solo una forma de mostrar que necesita la suposición adicional de invariancia CP para hacer que el salto hamiltoniano sea real (lo cual es cierto).

Luego, con la suposición adicional, solo obtienes

Donde he vuelto a añadir el potencial. Este es el límite continuo de un modelo de unión estrecha con saltos que varían lentamente espacialmente, o masa efectiva inversa.

Me sorprendería mucho si lograra encontrar una derivación matemática estricta de la ecuación de Schrödinger en cualquier lugar, al menos yo no he encontrado ninguna hasta ahora. Sin embargo, podría valer la pena señalar que la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo 'general', que a menudo se toma como un axioma de la mecánica cuántica, generalmente es

En el caso de un hamiltoniano estacionario (generalmente$U(x,t) \equiv U(x)$), esta ecuación se separa y se obtiene la ecuación estacionaria de Schrödinger, a saber

es decir, una ecuación de valores propios para el hamiltoniano.

Dada esta ecuación, es relativamente simple calcular la forma del hamiltoniano (en su caso,$-\frac{\hbar^2}{2} \nabla \frac{1}{m^\star} \nabla + U$) y reemplácelo en la ecuación. La forma exacta del hamiltoniano suele ser una conjetura basada en la observación y analogías con la mecánica clásica. En general, tenemos

dónde$\hat T$y$\hat U$denote los operadores de energía cinética y potencial, correspondientemente.

Vale la pena señalar que puede derivar la ecuación de continuidad (que es idéntica a la conservación de probabilidad en este caso) de la ecuación de Schrödinger sumando el complejo conjugado de la ecuación de Schrödinger a sí mismo.