Derivación de la ecuación de Jefimenko en el libro EMT de Jackson

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Derivación de la ecuación de Jefimenko en el libro EMT de Jackson

Vesnog

He estado tratando de entender la derivación de la ecuación de Jefimenko en Jackson en la página 246-247 que se puede ver en las fotografías adjuntas. En primer lugar, no comprendí completamente la transformación entre las dos notaciones de corchetes, una con el ∇' dentro de los corchetes y la otra fuera. ¿Cómo se selecciona el menos/más en las ecuaciones (6.53 y 6.54)? Además, después de la transformación de la ecuación (6.54) y la sustitución en la ecuación (6.52), se aplica la integración por partes al primer término (el que tiene el rizo) y en realidad hay dos términos y uno se desprecia sin ninguna justificación. Agradecería si alguien pudiera proporcionar la justificación de eso. La transformación es la siguiente:

\nabla^{'} \times (\frac{\vec{j}}{R}) = \frac{\vec{j} \times (\nabla^{'} R) + R \nabla^{'} \times \vec{j}}{R^{2}}

$\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})=\frac{\vec{J}\times(\nabla'R)+R\nabla'\times \vec{J}}{R^2}$ Por eso

\frac{\nabla^{'} \times \vec{j}}{R} = \nabla^{'} \times (\frac{\vec{j}}{R}) - \frac{\vec{j} \times (\nabla^{'} R)}{R^{2}}

$\frac{\nabla'\times \vec{J}}{R}=\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})-\frac{\vec{J}\times(\nabla'R)}{R^2}$

Sin embargo, aparentemente el primer término del lado derecho se ignora en la ecuación (6.56), ¿hay alguna justificación para ello?

EDITAR Después de la sustitución, obtiene el término en el LHS. Transformamos este término obedeciendo identidades de cálculo vectorial (lo probé en notación tensorial y verifiqué el resultado en Griffiths por cierto), luego llegamos a dos términos y en la integración el primer término en la RHS que es $\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})$ despreciado en 6.56 . Me pregunto cómo puedes justificar este descuido.

\frac{\nabla^{'} \times \vec{j}}{R} = \nabla^{'} \times (\frac{\vec{j}}{R}) - \frac{\vec{j} \times (\nabla^{'} R)}{R^{2}}

$\frac{\nabla'\times \vec{J}}{R}=\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})-\frac{\vec{J}\times(\nabla'R)}{R^2}$ ingrese la descripción de la imagen aquí

gautam1168

He respondido a la primera pregunta que me hiciste. Pero no puedo entender cómo funciona la integración por partes. ¿Puedes mostrar cómo se hace la integración por partes y cuáles son los dos términos?

Vesnog

@gautam1168 Gracias por tu respuesta. Para la integración por partes del campo magnético, sustituye 6.54 en 6.52 , también conocido como la solución preliminar en el texto. Estoy editando la pregunta para especificar el término que obtienes.

gautam1168

Parece que tampoco puedo entenderlo. A ver si alguien más puede responder a esto. Seguiré intentando mientras tanto.

Vesnog

@ gautam1168 Puede consultar mi última respuesta si está interesado.

Respuestas (2)

Derivación de la ecuación de Jefimenko en el libro EMT de Jackson

He respondido a la primera pregunta que me hiciste. Pero no puedo entender cómo funciona la integración por partes. ¿Puedes mostrar cómo se hace la integración por partes y cuáles son los dos términos?
@gautam1168 Gracias por tu respuesta. Para la integración por partes del campo magnético, sustituye 6.54 en 6.52 , también conocido como la solución preliminar en el texto. Estoy editando la pregunta para especificar el término que obtienes.
Parece que tampoco puedo entenderlo. A ver si alguien más puede responder a esto. Seguiré intentando mientras tanto.
@ gautam1168 Puede consultar mi última respuesta si está interesado.

gautam1168 · Answer 1

La transformación del corchete cuadrado

Esta es solo la aplicación de la regla de la cadena. El LHS significa una derivada sobre las coordenadas espaciales primadas mientras se mantienen fijas las coordenadas espaciales y de tiempo no primadas.

\nabla^{'} [ρ (X^{'}, t^{'})]_{r mi t} = (\sum_{i} \frac{\partial}{\partial X_{i}^{'}} \hat{i}) [ρ (X_{i}^{'}, X_{j}^{'}, X_{k}^{'}, t^{'})]_{r mi t}

$\nabla'[ \rho(\mathbf{x'},t')]_{ret} = \left(\sum_i \frac{\partial }{\partial x_i'} \hat{i}\right)[\rho(x_i',x_j',x_k',t')]_{ret}\\$ Pero el

ρ

$\rho$ es una función de la coordenada de tiempo primada también. Entonces, el operador de gradiente debe aplicarse usando la regla de la cadena.

= {\sum_{i} (\frac{\partial X_{i}^{'}}{\partial X_{i}^{'}} \frac{\partial}{\partial X_{i}^{'}} + \frac{\partial X_{j}^{'}}{\partial X_{i}^{'}} \frac{\partial}{\partial X_{j}^{'}} + \frac{\partial X_{k}^{'}}{\partial X_{i}^{'}} \frac{\partial}{\partial X_{k}^{'}} + \frac{\partial t^{'}}{\partial X_{i}^{'}} \frac{\partial}{\partial t^{'}}) \hat{i}} [ρ (X_{i}^{'}, X_{j}^{'}, X_{k}^{'}, t^{'})]_{r mi t} = {\sum_{i} (\frac{\partial}{\partial X_{i}^{'}} + 0 + 0 + \frac{\partial t^{'}}{\partial X_{i}^{'}} \frac{\partial}{\partial t^{'}}) \hat{i}} [ρ (X_{i}^{'}, X_{j}^{'}, X_{k}^{'}, t^{'})]_{r mi t}

$=\left \lbrace \sum_i \left(\frac{\partial x_i'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial x_i'} + \frac{\partial x_j'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial x_j'} + \frac{\partial x_k'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial x_k'} + \frac{\partial t'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial t'}\right) \hat{i}\right\rbrace[\rho(x_i',x_j',x_k',t')]_{ret}\\ =\left \lbrace \sum_i \left(\frac{\partial }{\partial x_i'} + 0+ 0 + \frac{\partial t'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial t'}\right) \hat{i}\right\rbrace[\rho(x_i',x_j',x_k',t')]_{ret}\\$ Así que las derivadas espaciales con prima se toman manteniendo la t prima constante.

= {(\frac{\partial}{\partial X_{i}^{'}} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial X_{j}^{'}} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial X_{k}^{'}} \hat{k}) + (\frac{\partial t^{'}}{\partial X_{i}^{'}} \hat{i} + \frac{\partial t^{'}}{\partial X_{j}^{'}} \hat{j} + \frac{\partial t^{'}}{\partial X_{k}^{'}} \hat{k}) (\frac{\partial}{\partial t^{'}})} [ρ]_{r mi t} = [\nabla^{'} ρ]_{r mi t} + \nabla^{'} (t^{'}) {[\frac{\partial ρ}{\partial t^{'}}]}_{r mi t}

$=\left \lbrace \left(\frac{\partial }{\partial x_i'} \hat{i}+\frac{\partial }{\partial x_j'} \hat{j}+\frac{\partial }{\partial x_k'} \hat{k}\right) + \left(\frac{\partial t'}{\partial x_i'} \hat{i}+\frac{\partial t'}{\partial x_j'} \hat{j}+\frac{\partial t'}{\partial x_k'} \hat{k}\right)\left(\frac{\partial }{\partial t'}\right) \right \rbrace[\rho]_{ret}\\ =[\nabla'\rho]_{ret} + \nabla'(t')\left[\frac{\partial \rho}{\partial t'}\right]_{ret}$

Donde el $\nabla'$ actúa manteniendo $t'$ fijo y el derivado wrt $t'$ se toma mientras se mantienen fijas las coordenadas espaciales preparadas. Entonces,

[\nabla^{'} ρ]_{r mi t} = \nabla^{'} [ρ]_{r mi t} - {[\frac{\partial ρ}{\partial t^{'}}]}_{r mi t} \nabla^{'} (t - R / C)

$[\nabla' \rho]_{ret} = \nabla'[\rho]_{ret} - \left[\frac{\partial \rho}{\partial t'}\right]_{ret} \nabla'(t-R/c)$

Vesnog · Answer 2

\frac{\nabla^{'} \times \vec{j}}{R} = \nabla^{'} \times (\frac{\vec{j}}{R}) - \frac{\vec{j} \times (\nabla^{'} R)}{R^{2}}

$\frac{\nabla'\times \vec{J}}{R}=\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})-\frac{\vec{J}\times(\nabla'R)}{R^2}$

Gracias al Prof. YF Chen pude resolverlo. Mientras que en la integral, el primer término de la RHS se puede convertir en una integral de superficie como se muestra a continuación:

\int \nabla^{'} \times (\frac{\vec{j}}{R}) d^{3} X^{^{'}} = \oint (\vec{norte} \times \frac{\vec{j}}{R}) d^{2} X^{^{'}}

$\int\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})d^3x^{'}=\oint(\vec{n}\times\frac{\vec{J}}{R})d^2x^{'}$

Dado que la integración tiene lugar en todo el espacio y la fuente de corriente se anula en el infinito, la integral de superficie de este término, por lo tanto, la integral de volumen, es cero. La justificación es la siguiente:

\int (\partial_{i} A_{j} - \partial_{j} A_{k}) d^{3} X^{^{'}} = \int ({norte}_{i} A_{j} - {norte}_{j} A i) d^{2} X^{^{'}}

$\int(\partial_iA_j-\partial_jA_k)d^3x^{'}=\int (n_iA_j-n_jAi)d^2x^{'}$

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