¿La fuerza magnética es no conservativa? [duplicar]

Esto se debe a la definición de una fuerza conservativa (y sus enlaces):

Si una fuerza que actúa sobre un objeto es función únicamente de la posición, se dice que es una fuerza conservativa y puede representarse mediante una función de energía potencial que, para un caso unidimensional, satisface la condición derivada

Veamos el campo magnético, ¿puede describirse mediante un potencial escalar ?

No existe un potencial escalar general para el campo magnético B, pero se puede expresar como el rotacional de una función vectorial

${\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}}$

Por lo tanto, no cae dentro de la definición de fuerzas conservativas.

Otra vista:

un campo de fuerza$F$, definida en todas partes en el espacio (o dentro de un volumen de espacio simplemente conectado), se denomina fuerza conservativa o campo vectorial conservativo si cumple cualquiera de estas tres condiciones equivalentes:

1. el rizo de$F$es cero:

   $$\nabla \times \vec{F} = 0.$$

2. Hay trabajo neto cero ($W$) que realiza la fuerza al mover una partícula a través de una trayectoria que comienza y termina en el mismo lugar:

   $$W \equiv \oint_C \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec r = 0.$$

3. La fuerza se puede escribir como el gradiente negativo de un potencial,$\Phi$:

   $$\vec{F} = -\nabla \Phi.$$

[Prueba de equivalencia omitida.]

El término fuerza conservativa proviene del hecho de que cuando existe una fuerza conservativa, conserva energía mecánica. Las fuerzas conservativas más conocidas son la gravedad, la fuerza eléctrica (en un campo magnético independiente del tiempo, véase la ley de Faraday) y la fuerza del resorte.

Muchas fuerzas (particularmente aquellas que dependen de la velocidad) no son campos de fuerza. En estos casos, las tres condiciones anteriores no son matemáticamente equivalentes. Por ejemplo, la fuerza magnética satisface la condición 2 (dado que el trabajo realizado por un campo magnético sobre una partícula cargada siempre es cero), pero no satisface la condición 3, y la condición 1 ni siquiera está definida (la fuerza no es un campo vectorial, por lo que no se puede evaluar su curvatura). En consecuencia, algunos autores clasifican la fuerza magnética como conservativa, ^[3] mientras que otros no. ^[4] La fuerza magnética es un caso inusual; la mayoría de las fuerzas dependientes de la velocidad, como la fricción, no satisfacen ninguna de las tres condiciones y, por lo tanto, son inequívocamente no conservativas.

Entonces no está tan claro, como con la conservación de la energía y el impulso :).

Este es extraño. El campo magnético NO es conservativo en presencia de corrientes o campos eléctricos variables en el tiempo.

Un campo conservativo debe tener una integral de línea cerrada (o rotacional) de cero. La cuarta ecuación de Maxwell (ley de Ampere) se puede escribir

$$\nabla \times {\bf B} = \mu_0 {\bf J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}\, ,$$ para que pueda ver que esto será igual a cero solo en ciertos casos.

La fuerza magnética también es conservativa solo en casos especiales. La fuerza debida a un campo electromagnético se escribe

$${\bf F} = q{\bf E} + q{\bf v} \times {\bf B}$$

Para que esto sea conservador entonces$\nabla \times {\bf F} = 0$y

$$\nabla \times {\bf F} = q\nabla \times {\bf E} + q\nabla \times ({\bf v} \times {\bf B}) .$$ Pero por la ley de Faraday sabemos que $$\nabla \times {\bf E} = - \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}\, ,$$ asi que, $$\nabla \times {\bf F} = - q\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} + q{\bf v}(\nabla \cdot {\bf B}) - q{\bf B}(\nabla \cdot {\bf v}) + ({\bf B}\cdot \nabla){\bf v} - ({\bf v}\cdot \nabla){\bf B}\, .$$ De la ley solenoidal $\nabla \cdot {\bf B}=0$siempre, y $\nabla \cdot {\bf v} = \partial/\partial t(\nabla \cdot {\bf r})=0$. Es más, $({\bf B}\cdot \nabla){\bf v} = ({\bf B}\cdot \frac{\partial}{\partial t} \nabla){\bf r} = 0$, asi que $$\nabla \times {\bf F} = - q\left[\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} + \frac{\partial {\bf B}}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial {\bf B}}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial {\bf B}}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t}\right]$$ $$\nabla \times {\bf F} = - q\frac{d {\bf B}}{d t}$$ y la fuerza es sólo conservativa en el caso de campos magnéticos (y por tanto eléctricos) estacionarios.

Editar: tenga en cuenta que el trabajo se realiza mediante campos B que varían en el tiempo debido al inevitable campo E que lo acompaña. Así que ese puede ser un punto potencial de ambigüedad.