Ley de Faraday de la fuerza de Lorentz en el caso de una barra conductora en movimiento: ¿cómo deben orientarse los vectores?

Antes de responder a su pregunta, quiero señalar un par de errores "técnicos" en su demostración.

1. La fuerza magnética sobre cualquier carga es: F=q( vx B ). Aquí, v es la velocidad NETA de la carga. En tu demostración usaste la velocidad de la barra, lo cual es incorrecto ya que las cargas también se mueven con respecto a la barra. Sea esa velocidad u . Entonces, la velocidad neta de las cargas es v + u . Pero por suerte para ti, el error no importa, ya que u y ds están en la misma dirección y no contribuyen en nada al producto cruz.

2. El flujo magnético se calcula a través de una superficie limitada por un bucle cerrado. En su caso, el circuito cerrado son los cables y la superficie imaginaria es el área encerrada por el circuito. La fem en la ley de Faraday se refiere a la fuerza electromotriz neta generada en el circuito cerrado, que en este caso es TODO el circuito. Lo que estoy tratando de decir es que su integral debe calcularse a lo largo de todo el circuito cerrado, y no solo a través de la parte donde se encuentra la barra (ponga un círculo en su signo integral). Pero nuevamente, dado que el resto del circuito no se mueve, lo que hiciste no es incorrecto. Todo el cambio de flujo se debe únicamente a la varilla en movimiento.

Para responder a su pregunta de la manera más simple posible, todo se reduce a la convención de signos .

Mi segundo punto anterior es de especial importancia para que entiendas la respuesta. Mira la foto de abajo. He mostrado las dos direcciones posibles del vector ds , el sentido de integración correspondiente sobre todo el circuito y la dirección del vector de área en cada caso. Tenga en cuenta que la dirección del vector de área debe tomarse de acuerdo con la "regla del pulgar rizado de la mano derecha" (un nombre que inventé). Dobla los dedos de tu mano derecha en la dirección de integración que prefieras. Su pulgar apuntará en la dirección del vector de área de cada área elemental (todas tienen la misma dirección ya que su configuración es plana).

En ambos casos se puede ver que la dirección correcta vendrá dada por vx ds . Continúa y obtendrás tu signo menos.

Definir una superficie$\:S\:$(física o imaginaria) y su contorno curva cerrada$\:C\:$. Definir los vectores unitarios normales a la superficie.$\:\mathbf{n}\:$. Estos vectores definen una dirección$\:\overrightarrow{n_c}\:$en la curva$\:C\:$según la regla de la mano derecha. Definir el flujo magnético a través de la superficie.$\:S\:$

$$\begin{equation} \Phi\equiv \iint\limits_{S}\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=\iint\limits_{S}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}\right)\mathrm{d}\mathrm{S} \tag{01} \end{equation}$$ Ahora, la fem en curva $\:C\:$induciría una corriente $\:i_c\:$que, según la Ley de Lenz, tendría dirección
$$\begin{equation} \text{direction of }\mathrm{i}_c= -\left(\text{sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\text{direction on curve } \overrightarrow{n_c} \right) \tag{02} \end{equation}$$ de modo que el flujo magnético del campo magnético producido por la corriente $\:\mathrm{i}_c\:$se opondría al cambio en el flujo magnético debido a fuentes EXTERNAS, como comenta Kalyan en su respuesta:

Además, la ley de Lenz no se puede deducir directamente del signo menos solo. La ley de Lenz establece que la fem inducida tendrá una dirección tal que se "opone" al cambio en el flujo magnético debido a fuentes EXTERNAS.

Tenga en cuenta que la dirección de la corriente$\:\mathrm{i}_c\:$dada por (02) es independiente de la elección de los vectores unitarios normales$\:\mathbf{n}\:$. Porque si elegimos los opuestos

$$\begin{equation} \mathbf{n'}=-\mathbf{n} \tag{03} \end{equation}$$ entonces tenemos la dirección opuesta en la curva $$\begin{equation} \overrightarrow{n'_c}=-\overrightarrow{n_c} \tag{04} \end{equation}$$ el flujo magnético opuesto $$\begin{equation} \Phi'=\iint\limits_{S}\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=\iint\limits_{S}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n'}\right)\mathrm{d}\mathrm{S}=\boldsymbol{-}\iint\limits_{S}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}\right)\mathrm{d}\mathrm{S}=\boldsymbol{-}\Phi \tag{05} \end{equation}$$ pero la misma dirección de la corriente inducida $$\begin{align} \text{direction of }\mathrm{i}'_c & = \boldsymbol{-}\left(\text{sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi'}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\text{direction on curve } \overrightarrow{n'_c}\right)\\ & = \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{-}\text{ sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\boldsymbol{-}\text{ direction on curve } \overrightarrow{n_c}\right)\\ & = \text{direction of }\mathrm{i}_c \tag{06} \end{align}$$

Ahora, sin duda, la magnitud de la fem en su pregunta es

$$\begin{equation} \vert \mathrm{emf}\vert=\begin{vmatrix} \boldsymbol{-}\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}\end{vmatrix}=Bv\ell \tag{07} \end{equation}$$ pero su polaridad se muestra en la figura siguiente. El vector de flujo magnético $\:\mathbf{B}\:$se supone constante apuntando al positivo $\:z$-eje.

Entonces, imagina que tu varilla es cilíndrica y rueda sobre dos lados opuestos de un alambre rectangular. Tienes dos superficies de zona de cambio, una trasera$\:S_b\:$, un frente$\:S_f\:$. Aplicando la Ley de Faraday con la Ley de Lenz a cualquier superficie$\:S_\jmath \,(\jmath=b,f)\:$con cualquier unidad normal$\:\pm\,\mathbf{n_\jmath}\,(\jmath=b,f)\:$terminará con el mismo resultado para la polaridad de la fem de movimiento.

Ejemplos:

(1) Si definimos la unidad normal a la superficie posterior$\:S_b\:$como$\:\mathbf{n_b}\:$apuntando a lo positivo$\:z$-eje, vea la figura, entonces este vector define un sentido contrario a las agujas del reloj (visto desde el positivo$\:z\:$) dirección$\:\overrightarrow{\rm{EFCDE}}\:$en la curva (rectangular)$\:\rm{EFCDE}$. el flujo$\:\Phi_b\:$mediante$\:S_b\:$esta incrementando,$\:\mathrm{d}\Phi_b/\mathrm{d}t >0$, de modo que la dirección de la corriente hipotética$\:\mathrm{i}_b\:$, a partir de la cual concluiremos la polaridad fem, es en el sentido de las agujas del reloj como se muestra en la figura, ya que

$$\begin{align} \text{direction of }\mathrm{i}_b & = \boldsymbol{-}\left(\text{sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi_b}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\text{anti-clockwise } \right)\\ & = \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{+}\right)\times \left(\text{anti-clockwise } \right)\\ & = \text{clockwise} \tag{08} \end{align}$$ Tenga en cuenta que las líneas de la densidad de flujo magnético del campo producido por esta corriente hipotética $\:\mathrm{i}_b\:$cruzará la superficie $\:S_b\:$(ese es el rectangulo $\:\rm{EFCDE}$) con dirección al negativo $\:z$-eje, opuesto al flujo creciente $\:\Phi_b\:$.

(2) Si definimos la unidad normal a la superficie frontal$\:S_f\:$como$\:\mathbf{n_f}\:$apuntando a lo negativo$\:z$-eje, vea la Figura, entonces este vector define un sentido de las manecillas del reloj (visto desde el positivo$\:z\:$) dirección$\:\overrightarrow{\rm{AEFBA}}\:$en la curva (rectangular)$\:\rm{ABFEA}$. el flujo$\:\Phi_f\:$mediante$\:S_f\:$disminuye en magnitud pero aumenta en valor algebraico,$\:\mathrm{d}\Phi_f/\mathrm{d}t >0$, de modo que la dirección de la corriente hipotética$\:\mathrm{i}_f\:$, a partir de la cual concluiremos la polaridad fem, es antihorario como se muestra en la figura, ya que

$$\begin{align} \text{direction of }\mathrm{i}_f & = \boldsymbol{-}\left(\text{sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi_f}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\text{clockwise } \right)\\ & = \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{+}\right)\times \left(\text{clockwise } \right)\\ & = \text{anti-clockwise} \tag{09} \end{align}$$ Tenga en cuenta que las líneas de la densidad de flujo magnético del campo producido por esta corriente hipotética $\:\mathrm{i}_f\:$cruzará la superficie $\:S_f\:$(ese es el rectangulo $\:\rm{ABFEA}$) con dirección al positivo $\:z$-eje, opuesto al flujo creciente $\:\Phi_f\:$.

Recuerde que el flujo se define como$\vec{B} \cdot \vec{A}$.Así que si$\vec{B}$y$\vec{A}$están en direcciones opuestas, simplemente dará como resultado un signo negativo. Por lo tanto, su segundo caso se reduciría al primer caso.

Ambos enfoques son correctos. Déjame explicarte cómo.

Consideremos una barra que se mueve con velocidad v. Deje que el campo magnético apunte hacia arriba. Observe la fuerza que actúa sobre un electrón bajo la influencia del campo magnético. Podemos suponer que la velocidad del electrón dentro del conductor es la misma que la del propio conductor. Es fácil ver que la fuerza sobre el electrón está en la dirección +y. Por lo tanto, una fem inducida actuará sobre la barra. Calculemos esta fem

como usted señaló

$$emf=\int v\times B.dl$$ Aquí es necesario definir la dirección de dl . Como ya hemos visto antes, la fuerza sobre un electrón dentro del conductor está en la dirección +y. Por lo tanto, es evidente que la fem inducida se generará con su mayor potencial en el extremo inferior. debemos elegir la dirección de dl como la dirección -y. Ahora es el turno de definir el vector de área. No repetiré lo que ya has mostrado. $$B \frac{d}{dt}\int dl \times dl'$$ donde dl' es el pequeño desplazamiento en la dirección de la velocidad de la barra. La dirección de dl$\times$dl' es +z . Es imperativo que si tomamos la dirección del vector normal como la dirección -z, se reducirá a su primer caso; de lo contrario, se reducirá a su segundo caso.