¿Por qué la carga clásica de Noether se convierte en el generador de simetría cuántica?

Considere un formalismo de campo cuántico, donde los campos son operadores. Por ejemplo, considere, por simplicidad, un campo escalar cargado, con acción$S = \int d^4x \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi^*$, con un campo :

$$\phi(x) = \int ~ \frac{d^3k}{2E_k} ~(a(p)e^{-ip.x} + b^+(p)e^{ip.x} )\tag{1}$$

$$\phi^*(x) = \int ~ \frac{d^3k}{2E_k} ~(b(p)e^{-ip.x} + a^+(p)e^{ip.x} )\tag{2}$$

dónde$a^+(p), a(p)$son operadores de creación/aniquilación para la partícula, y$b^+(p), b(p)$operador de creación/aniquilación para la antipartícula.

Si tenemos una transformación infinitesimal,$\delta \phi(x)$, dejando sin cambios la acción$S$, la corriente conservada es$j^\mu(x) = [\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu \phi)}~\delta \phi(x) + \frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu \phi^*)}~\delta \phi^*(x)]$(saltando los parámetros infinitesimales), y la carga generalizada conservada es$Q =~:\int d^3x~ j^0(x): ~= ~:\int d^3x ~[\Pi(x)~ \delta\phi(x) +\Pi^*(x)~ \delta\phi^*(x)]:$- donde el$\Pi(x),\Pi^*(x)$son los momentos conjugados de$\phi(x),\phi^*(x)$, y el signo$:$es para el producto ordenado normal (poniendo a los operadores de aniquilación a la derecha).

Vemos, por supuesto, que$Q$es un operador.

Un ejemplo: la carga estándar (eléctrica) es la cantidad conservada que corresponde a la transformación (global)$\phi(x) \rightarrow e^{-i\Lambda}\phi(x)$, aquí la transformación infinitesimal es$\delta \phi(x) = -i\epsilon ~\phi(x)~$, entonces tenemos :

$$Q = -i:\int ~ d^3x ~(\Pi(x) ~\phi(x) - \Pi^*(x) ~\phi^*(x) ): \tag{3}$$

O equivalente :

$$Q = \int ~ \frac{d^3k}{2E_k} ~(a^+(p)a(p) - b^+(p)b(p) )\tag{4}$$

Y tenemos :

$$[Q,\phi(x)]=-\phi(x) \tag{5}$$ (Esto se puede comprobar a partir de las relaciones fundamentales de conmutación entre operadores, como $[a(k),a^+(k')]=\delta^3(k-k')$)

La cuantización canónica según Dirac debe cumplir los siguientes axiomas:

• P1: El mapa$f \to \hat f$que asigna un operador a cada función en el espacio de fase es lineal y las funciones constantes 1 se asignan al operador 1

• P2: El soporte de Poisson se asigna al conmutador decorado con$\hbar$

• P3: Un sistema completo de funciones en mapas de involución a un sistema completo de operadores conmutativos.

Es la última condición la que asegura que$G$es una simetría en el lado cuántico (la asignación$f \to \hat f$necesita ser una representación irreducible de los generadores de simetría). Pero los teoremas de No-Go de Groenwald y Van Hove muestran que no es posible una cuantización para todos los observables con Q1-Q3. Las dos soluciones principales son: Debilitar Q2 y solo requerir que aguante solo hasta el primer orden de$\hbar$- esto conduce a la cuantificación de la deformación. Por otro lado, la cuantización geométrica modifica Q3 en el sentido de que debería ser válido solo para alguna subálgebra razonable de funciones (por ejemplo, que contiene cantidad de movimiento, etc.).