¿Todas las simetrías deben tener consecuencias?

El teorema de Noether se aplica con exceso de celo; solo se aplica a teorías con una formulación lagrangiana, oa la mecánica cuántica. Esto es cierto para los sistemas fundamentales, pero para los sistemas no fundamentales, puede tener ecuaciones clásicas que son simétricas, la simetría no implica una ley de conservación.

¡La simetría no viene sin consecuencia, sin embargo, viene con la consecuencia de soluciones simétricas! Si las ecuaciones son simétricas bajo una transformación, las soluciones deben venir en familias que se conviertan entre sí bajo la simetría. Para los sistemas clásicos, esta no es una consecuencia particularmente profunda. Así que consideraré sistemas donde esta es la única consecuencia.

Para un ejemplo estúpido, considere las leyes de Newton para un objeto en caída libre en un campo gravitacional. La aceleración es uniforme en la dirección z, pero el momento z no se conserva. La razón es que el Lagrangiano no es invariante en la dirección z. Pero no lo sabrías mirando las ecuaciones de movimiento.

Para un ejemplo menos estúpido, considere las leyes de Newton para una partícula con fuerza constante y una$v^3$ley de fricción, decir:

Y hay una simetría en la traslación del tiempo y para las traslaciones en x. Pero además de decirte el hecho trivial de que las soluciones son traducibles en x y en t, no te dice nada más.

Estos problemas son un poco tontos, así que daré el abuelo de todos los ejemplos: las ecuaciones de Navier Stokes incompresibles, con hiperviscosidad (de modo que lo que digo es definitivamente cierto). Aquí tienes un difeomorfismo dependiente del tiempo.$X(x)$del espacio n-dimensional cuyo punto general se llama x, a sí mismo.

La derivada temporal de X es el campo de velocidad v, y v obedece a la ecuación

Donde el$\epsilon$Se introduce un término para asegurarse de que la ecuación tiene un problema de valor inicial único y suave, de modo que el difeomorismo X tenga sentido. Esta ecuación es traduccionalmente invariante a t traslaciones, y completamente difeomorfismo invariante --- componer X con un difeomorfismo toma una solución a una solución, pero no tiene una energía conservada (aunque formalmente el límite$\nu=\epsilon=0$hace), ni tiene ninguna cantidad conservada correspondiente a la invariancia del difeomorfismo. La invariancia diff es una redundancia de indicador en la descripción X.

Estas simetrías aún tienen la consecuencia trivial de las soluciones simétricas, por lo que puede traducir cualquier solución en el tiempo y hacer un difeomorfismo en las posiciones iniciales. Simplemente no significa nada para estudiar la ecuación.

¿A qué te refieres con "consecuencias"?

Clásicamente, los números topológicos podrían encajar en ese proyecto de ley. En la teoría cuántica de campos, eso depende de si es sensato considerar superposiciones de sectores topológicos. Si hay una dualidad S, posiblemente lo sea.

Si hay una simetría continua de la acción, es necesario tomar el cociente por la simetría -fijar el calibre- al cuantificar. Una forma de ver esto es simplemente considerar la teoría de la perturbación. El acoplamiento cuadrático en el Lagrangiano será constante a lo largo del flujo de la simetría, por lo que tendrá una derivada degenerada en las direcciones del espacio tangente a lo largo de ese flujo y, por lo tanto, no será invertible. Por lo tanto, no podremos encontrar un propagador.

De manera abstracta, la teoría de la perturbación funciona cuando la teoría clásica que se está cuantificando es integrable. Cuando se muestra que un sistema de 2n dimensiones es integrable, se deben especificar n integrales de movimiento de conmutación de Poisson. La simetría continua da uno por el teorema de Noether, y n es lo más posible en 2n dimensiones, por lo que uno tiene que llegar a n integrales de movimiento que se combinan linealmente en la carga de la simetría de Noether. En otras palabras, uno finalmente incluye la simetría en la solución, independientemente de si tenía o no la intención.

Siento que podría haber cosas más extrañas que suceden sin perturbaciones, pero no estoy seguro. Ciertamente, cuando uno quiere que todos los observables también obedezcan la simetría, uno puede inventar un operador BRST. La existencia de este operador implica que algunos estados en el "gran" espacio de Hilbert que no tiene en cuenta la simetría necesariamente tienen una norma cero. ¿Se puede hacer esto en todos los casos?

Es posible, por otro lado, perder simetrías cuando se cuantiza. Por lo general, esto es culpa del esquema de regularización, pero en ciertos casos se puede probar que ningún esquema de regularización es invariante bajo la simetría. Un ejemplo es la teoría de Chern Simons de 2+1 dimensiones con bucles de Wilson. Aunque el lagrangiano es totalmente invariante topológicamente, es necesario elegir un marco de bucles para regularizar las autointersecciones. De manera similar, hay teorías con lagrangianos manifiestamente conformes pero que requieren romper la invariancia de escala en la regularización.

Las simetrías discretas son, por supuesto, de un sabor muy diferente.