Integral de densidad de estados (DOS) cuando la superficie no está cerrada

Según la fórmula de densidad de estados (DOS)

$$\rho(\varepsilon)\propto \int_{\varepsilon=\text{const}}\frac{dS}{|\nabla_k \varepsilon_k|}.$$

Dado que hay una integral en la superficie de energía constante en la fórmula DOS, ¿qué sucede si la superficie de energía constante no es cerrada y, por lo tanto, es infinita? Por ejemplo, en 2D

$$\varepsilon_k=v_xk_x+v_yk_y \, .$$ La superficie de isoenergía será un plano extendido hasta el infinito y, por lo tanto, estará mal definida en la integral.$\int dS$. La integral de DOS es divergente y no da un resultado finito.

Alguien puede argumentar que este tipo de hamiltoniano debe provenir de una teoría efectiva que solo es válida para baja energía y, por lo tanto, tiene una región válida más allá de la cual la relación de dispersión no funciona. Bueno, si solo me preocupo por el comportamiento divergente y no quiero ir más allá de la dispersión 'real' que es difícil de manipular (quizás sin expresión analítica en absoluto). ¿Puedo obtener la información divergente solo de la dispersión lineal? debo dar$k$región un corte y luego calcular?