La densidad de estados para electrones libres en la banda de conducción.

Su pregunta se puede reducir a lo siguiente: ¿Cómo es el valor instantáneo de una función$f(x)$relacionado con el valor promedio de esa función de$x_o$a$x$? En el caso de las estadísticas de Fermi en 1, 2 y 3 dimensiones conocemos el valor medio precisamente por inspección. En esta formulación, el valor promedio de una función en el intervalo es simplemente:

$$\begin{equation} \overline{f(x)} = \frac{\int{f(x)dx}}{(x-x_0)} \end{equation}$$

Entonces, la relación entre el valor instantáneo y el valor promedio es:

$$\begin{equation} \frac{f(x)}{\overline{f(x)}} = \frac{(x-x_0)f(x)}{\int_{x_0}^x {f(x)dx}} \end{equation}$$

Si trabaja esto con las 3 formas funcionales de la densidad de estados para 1, 2 y 3 dimensiones:

$$\begin{equation} f(x) = (x-x_0)^{1/2}, f(x) = const, f(x) = (x-x_0)^{-1/2} \end{equation}$$

Verás que los factores de$3/2$,$1$y$1/2$proviene de la integral. Todo lo demás se cancela, de modo que la razón siempre es solo un número que depende de la forma de la función. Para ver cómo se relaciona esto con las estadísticas de Fermi y las ideas de Kittel... sigue leyendo.

La energía de Fermi es la energía por debajo de la cual todos los estados se llenan a 0 K. Eso significa que hay un número igual de estados y electrones por debajo$\begin{equation} \epsilon_F \end{equation}$y, por lo tanto, esperaría que la densidad "promedio" de estados hasta la energía de Fermi fuera aproximadamente$\begin{equation} \frac{ N }{\epsilon_F} \end{equation}$, un electrón por orbital. Esa sería también la densidad de estados en la Energía de Fermi si la densidad de estados fuera constante con la energía... pero en 3D no lo es, aumenta con la energía a medida que$\begin{equation} \epsilon^{1/2} \end{equation}$entonces esperaría que la densidad de estados sea más alta que el promedio en la energía ocupada más alta,$\begin{equation} \epsilon_F \end{equation}$, por lo que el factor delante de$\frac{N}{\epsilon}$debe ser mayor que 1. Debe realizar las matemáticas anteriores para ver que es 3/2.

El orden de la densidad de estados es$\begin{equation} \epsilon^{1/2} \end{equation}$, N es también una función de energía en 3D.

En 2D, la densidad de estados es constante con la energía. Para ver esto primero nota que las isocuantas de energía en el espacio k son círculos. Los estados válidos son puntos discretos en el espacio k. La energía de los estados en un círculo aumenta con el cuadrado del radio,$k^2$. Por un cambio de energía$\begin{equation} \Delta \epsilon \propto 2k \Delta k\end{equation}$el área del círculo aumenta a medida que$\begin{equation} 2\pi k \Delta k \propto \Delta \epsilon \end{equation}$. El número de estados en este anillo anular es proporcional a esta área, una unidad de área para cada vector k válido, por lo que la densidad de estados,$\begin{equation} \frac{dN }{d\epsilon} \end{equation}$es constante _ Entonces, en este caso, esperaría que la densidad de estados sea la densidad promedio en cualquier energía$\begin{equation} \frac{N }{\epsilon} \end{equation}$. En este caso, la constante numérica es clara, la densidad de estados es la misma en cualquier energía, por lo que la cantidad de electrones debe ser exactamente igual a la cantidad de estados hasta esa energía ... ¡no se requieren matemáticas!

El argumento para 1D es similar al argumento para 3D, excepto que en este caso la densidad de estados disminuye a medida que aumenta la energía. Las isocuantas de energía constante en el espacio k en 1D son solo puntos en una línea a una distancia k del origen. Mover un punto hacia afuera del origen aumenta el número de estados en uno y aumenta la energía del estado en un incremento constante,$\begin{equation} \Delta \epsilon \propto 2k \Delta k\end{equation}$.

$$\begin{equation} \frac{dN }{d\epsilon} =\frac{\Delta N }{\Delta k}\frac{\Delta k }{\Delta \epsilon} \propto 1 \cdot \frac{1}{k} \propto \epsilon^{-\frac{1}{2}}\end{equation}$$

Ahora esperaríamos que la densidad de estados sea menor que la densidad promedio en cualquier energía$\epsilon$por lo que el factor delante de$\frac{N}{\epsilon}$debe ser menor que 1.