Densidad de estados con piso potencial cambiante

Lo descubrí y decidí publicarlo aquí para que alguien más pueda beneficiarse si se encuentra con este problema.

Parece que estaba mirando la pregunta desde el punto de vista equivocado. En lugar de tomar la expresión conocida que publiqué en la pregunta, se debe analizar el sistema desde cero para obtener la respuesta.

Básicamente, sabemos que el número de estados es la suma de todos los niveles accesibles:

$$N(E)=\sum_n\theta(E-\epsilon_n)$$

En nuestro caso estamos interesados ​​en los estados de dispersión ($E>0$) con un espectro continuo. Sin embargo, las energías negativas que también están permitidas debido al suelo de potencial cambiante no forman parte de este espectro continuo. De hecho, como sabemos, el espectro dentro del pozo es discreto.

Por lo tanto, la forma correcta de evaluar el número de estados del sistema sería sumar los espectros discretos y continuos de la siguiente manera:

$$N(E)=\sum_{n\in \text{ bound states}}^N\theta(E-\epsilon_n)+\int_0^\infty \underbrace{\frac{dN}{dE}}_{g_f(E)}dE$$

En la última expresión asumí que tenemos$N$estados ligados en el pozo.$g_f(E)$denota la densidad de onda libre de los estados en 1D.

De esto podemos derivar que la densidad de estados del sistema es:

$$g(E)=\sum_{n\in \text{ bound states}}^N\delta(E-\epsilon_n)+g_f(E)=\sum_{n\in \text{ bound states}}^N\delta(E-\epsilon_n)+\theta(E)\frac{1}{\hbar}\sqrt{\frac{2m}{E}}$$