¿Cuáles son las diferencias significativas entre los anillos de polinomios y el anillo de la serie de potencia formal?

Bueno, una diferencia elemental pero llamativa es que el polinomio$1 -X$no tiene inversa en$k[X]$, pero tiene una inversa en$k[[X]]$, es decir, la serie$\sum_{n \geqslant 0} X^n = 1 + X + X^2 + \cdots$

$\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Zx}{\ZZ\left[x\right]} \newcommand{\Zxx}{\ZZ\left[\left[x\right]\right]}$Una diferencia bastante llamativa son los automorfismos.

Para simplificar, compararé el anillo polinomial univariante$\Zx$con el anillo univariante FPS (= serie de potencia formal)$\Zxx$. Un automorfismo de anillo de$\Zx$es un isomorfismo de anillo$\alpha : \Zx \to \Zx$. Por la propiedad universal de los anillos polinómicos, un morfismo de anillo$\alpha : \Zx \to \Zx$está determinada únicamente por su valor$\alpha\left(x\right)$. Además, es fácil ver que tal morfismo de anillo$\alpha$es un isomorfismo si y solo si$\alpha\left(x\right) = \pm x + c$para algunos$\pm$firmar y algunos$c \in \ZZ$. Por lo tanto, hay muchos automorfismos de anillos contables de$\Zx$. En contraste, hay innumerables automorfismos de anillos continuos de$\Zxx$: Efectivamente, si$f = f_1 x + f_2 x^2 + f_3 x^3 + \cdots$es cualquier FPS con término constante cero y con$x^1$-coeficiente$f_1 \in \left\{1,-1\right\}$, entonces este FPS$f$tiene un inverso composicional $g$, y el morfismo de anillo continuo$\beta : \Zxx \to \Zxx$que envía$x$a$f$por lo tanto tiene un inverso (es decir, el morfismo de anillo continuo$\gamma : \Zxx \to \Zxx$que envía$x$a$g$). Dado que hay innumerables candidatos para$f$, por lo tanto, hay incontables muchos automorfismos de anillos continuos de$\Zxx$. No estoy seguro de si hay otros discontinuos, pero su existencia no puede disminuir la cardinalidad.

Otra diferencia es que$\Zx$es gratis$\ZZ$-módulo, mientras que$\Zxx$no es (de hecho,$\Zxx$es isomorfo a$\ZZ^{\mathbb{N}}$como un$\ZZ$-módulo, y es bien sabido que este último$\ZZ$-el módulo no es gratuito).

En términos prácticos, los polinomios y FPS son bastante similares en muchos aspectos, excepto que los anillos FPS generalmente deben considerarse como álgebras topológicas (sobre sus anillos base) para que se comporten bien, mientras que los anillos polinomiales son lo suficientemente agradables como (simplemente ) álgebras ya. Es por eso que tuve que decir "morfismo de anillo continuo" arriba, por ejemplo, como sin el "continuo", un morfismo de anillo de$\Zxx$no estaría determinada únicamente por la imagen de$x$(o eso creo).

Hay varios puntos interesantes en tu pregunta. Permíteme centrarme en uno de ellos: mencionas la evaluación de polinomios, pero debes tener en cuenta que los polinomios y las funciones de polinomios no son lo mismo, en general. Si está trabajando con coeficientes en algún anillo$A$, puedes asociar el polinomio$p = a_0 + a_1X + \ldots + a_nX^n \in R[X]$(visto como una expresión formal) con la función polinomial$x \mapsto a_0 + a_1x + \ldots + a_n x^n \in A \to A$. Sin embargo, esta asociación puede perder información. por ejemplo, si$R= \Bbb{Z}_2$(el campo con dos elementos),$p = X^2 - X$y$q = 0$son polinomios distintos que dan la misma función polinomial. Puede identificar polinomios y funciones polinómicas para algunas clases útiles de anillos$R$, por ejemplo, campos infinitos, pero no para todos los anillos.

Una diferencia obvia es que los polinomios se generan finitamente como anillos, mientras que las series de potencias formales no lo son.

Aunque esto no es (según los estándares contemporáneos) una explicación "elemental", creo que es mucho más funcional y explicativo que la mayoría de los demás.

(Un ejemplo de una "mala explicación" es la idea de que las series de potencias formales "son cadenas de símbolos"... ¿En serio? ¿Marcas en la página?)

Después de mis coqueteos juveniles con peores puntos de vista, creo seriamente que la mejor manera de describir "el anillo formal de la serie de poder$R[[x]]$" (para anillo conmutativo$R$, seguramente con unidad$1$) es como el límite proyectivo de los cocientes$R[x]/\langle x^n\rangle$. Cualquier otra estructura del anillo$R$puede tener puede agregarse a los requisitos "categóricos".

Entonces, sí, en cualquier versión de topología en$R$, en el anillo formal de series de potencias$x$es "muy pequeño", tan pequeño que cualquier suma$\sum_{n\ge 0} r_n x^n$converge, para cualquier $r_n\in R$. Pero/y esta pretensión de metrización no es necesaria, salvo un ejemplo de construcción , si/cuando nos contentamos con la caracterización del anillo formal de series de potencias como límite proyectivo.

(A saber,$R$-homs de otro$R$-módulo a$R[[x]]$son familias exactamente compatibles de$R$-homs a los limitands$R[x]/\langle x^n\rangle$.)