Análogos de los polinomios simétricos elementales para el grupo alterno

En el caso de tres variables, los polinomios simétricos elementales son

mi 1 ( X 1 , X 2 , X 3 ) := X 1 + X 2 + X 3 , mi 2 ( X 1 , X 2 , X 3 ) := X 1 X 2 + X 1 X 3 + X 2 X 3 , mi 3 ( X 1 , X 2 , X 3 ) := X 1 X 2 X 3 .
El conocimiento de los valores de mi 1 , mi 2 , mi 3 determina las variables X 1 , X 2 , X 3 hasta cualquier permutación de S 3 . es decir, si
mi 1 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = mi 1 ( Y 1 , Y 2 , Y 3 ) , mi 2 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = mi 2 ( Y 1 , Y 2 , Y 3 ) , mi 3 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = mi 2 ( Y 1 , Y 2 , Y 3 ) ,
entonces existe una permutación σ ∈ S 3 tal que
X i = Y σ ( i ) ,
para todos 1 ≤ i ≤ 3 .

Tengo curiosidad por saber si existen otros polinomios "menos simétricos", digamos { PAG norte ( X 1 , X 2 , X 3 ) } norte tal que teniendo

PAG norte ( X 1 , X 2 , X 3 ) = PAG norte ( Y 1 , Y 2 , Y 3 )
para todos norte implica que existe una permutación par σ ∈ A 3 ⊊ S 3 para cual X i = Y σ ( i ) para todos 1 ≤ i ≤ 3 .

Intenté mantener dos de los polinomios simétricos elementales, reemplazando el tercero, pero eso no funcionó.

Agradecería ayuda para encontrar tales polinomios. PAG norte (si existen). ¡Gracias!

Para norte = 2 esto es fácil con X 1 y X 2 ; para norte = 4 podemos sumar los polinomios X 1 X 2 + X 3 X 4 y polinomios similares a la lista de polinomios simétricos elementales

Respuestas (2)

Ya casi estás ahí. Basta con sumar un cuarto polinomio:

PAG 1 = X 1 + X 2 + X 3 PAG 2 = X 1 X 2 + X 1 X 3 + X 2 X 3 PAG 3 = X 1 X 2 X 3 PAG 4 = X 1 2 X 2 + X 2 2 X 3 + X 3 2 X 1

Suponer que X = ( X 1 , X 2 , X 3 ) y Y = ( Y 1 , Y 2 , Y 3 ) satisfacer PAG norte ( X ) = PAG norte ( Y ) para 1 ≤ norte ≤ 4 . Usando solo las primeras tres igualdades, ya sabemos que hay un σ ∈ S norte tal que X = Y σ (con lo que quiero decir que X i = Y σ ( i ) para 1 ≤ i ≤ 3 ).

Si σ ya está parejo, hemos terminado. De lo contrario, σ es una transposición, digamos σ = ( 1 , 2 ) . Entonces la última identidad se convierte en PAG 4 ( Y 2 , Y 1 , Y 3 ) = PAG 4 ( Y 1 , Y 2 , Y 3 ) . Ahora el polinomio D = PAG 4 ( Y 2 , Y 1 , Y 3 ) − PAG 4 ( Y 1 , Y 2 , Y 3 ) factoriza como

D = ( Y 2 − Y 1 ) ( Y 3 − Y 1 ) ( Y 3 − Y 2 )

Entonces por lo menos dos Y i son iguales. Es fácil deducir de aquí que hay otras permutaciones γ satisfactorio X = Y γ , algunos de los cuales son pares.

He aquí una forma de hacerlo: obtener una lista de polinomios para cualquier norte , comience con la lista de polinomios simétricos elementales en norte variables y agregue el polinomio de Vandermonde en norte variables

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