∑(p−1)2i=0[qip]+∑(q−1)2i=0[piq]=(p−1)(q−1)4∑i=0(p−1)2[qip] +∑i=0(q−1)2[piq]=(p−1)(q−1)4\sum_{i=0}^{\frac{(p-1)}{2}} [\ fracción{qi}{p}] + \sum_{i=0}^{\frac{(q-1)}{2}} [\frac{pi}{q}] = \frac{(p-1) (q-1)}{4} para primos impares distintos p,qp,qp,q

Este es uno de esos teoremas en los que el álgebra parece opaco e intimidante al principio, pero de repente todo es muy claro con la imagen correcta.

Imagine dibujar la cuadrícula de puntos de red de enteros en el plano, y la línea$y = px/q.$

¿Puedes pensar en una interpretación geométrica para cada una de esas dos sumas?

Presento una prueba algebraica, en lugar de una geométrica.

Observe que podemos escribir la suma como

$$\begin{align*} \sum_{i=0}^{(p-1)/2}\left[\frac{qi}{p}\right]+\sum_{i=0}^{(q-1)/2}\left[\frac{pi}{q}\right]=\sum_{i=0}^{(p-1)/2}\sum_{1\leq j\leq qi/p}1+\sum_{i=0}^{(q-1)/2}\sum_{1\leq j\leq pi/q}1. \end{align*}$$

Intercambiando la primera sumatoria (herramienta principal), obtenemos

$$\begin{align*} \sum_{i=0}^{(p-1)/2}\sum_{1\leq j\leq qi/p}1+\sum_{i=0}^{(q-1)/2}\sum_{1\leq j\leq pi/q}1&=\sum_{1\leq j\leq\frac{q(p-1)}{2p}}\sum_{\frac{pj}{q}\leq i\leq \frac{p-1}{2}}1+\sum_{i=0}^{(q-1)/2}\sum_{1\leq j\leq \frac{pi}{q}}1 \\ &=\sum_{1\leq j<\frac{q}{2}}\sum_{\frac{pj}{q}\leq i<\frac{p}{2}}1+\sum_{1\leq i\leq\frac{q-1}{2}}\sum_{1\leq j\leq \frac{pi}{q}}1 \\ &=\sum_{1\leq j\leq\frac{q-1}{2}}\sum_{1\leq i\leq\frac{p-1}{2}}1-\sum_{1\leq j\leq\frac{q-1}{2}}\sum_{1\leq i<\frac{pj}{q}}1+\sum_{1\leq i\leq\frac{q-1}{2}}\sum_{1\leq j\leq \frac{pi}{q}}1 \\ &=\sum_{1\leq j\leq\frac{q-1}{2}}\sum_{1\leq i\leq\frac{p-1}{2}}1-\sum_{1\leq j\leq\frac{q-1}{2}}\sum_{1\leq i<\frac{pj}{q}}1+\sum_{1\leq i\leq\frac{q-1}{2}}\sum_{1\leq j<\frac{pi}{q}}1 \\ &=\sum_{1\leq j\leq\frac{q-1}{2}}\sum_{1\leq i\leq\frac{p-1}{2}}1=\frac{(p-1)(q-1)}{4} \end{align*}$$