Cuando ⌊ab⌋=⌊a⌋⌊b⌋⌊ab⌋=⌊a⌋⌊b⌋\lpiso{ab}\rpiso = \lpiso{a}\rpiso\lpiso{b}\rpiso

Question

Cuando ⌊ab⌋=⌊a⌋⌊b⌋⌊ab⌋=⌊a⌋⌊b⌋\lpiso{ab}\rpiso = \lpiso{a}\rpiso\lpiso{b}\rpiso

Matemáticas
teoría-de-números-elemental
funciones de techo y suelo

Eduardo Evans

Estaba pensando en la igualdad (por un poco de diversión)

$\lfloor ab \rfloor = \lfloor a\rfloor\lfloor b \rfloor$

para no entero $a$ y $b$ . Me preguntaba si alguien podría señalarme algunas notas de clase o algo así donde esto aparezca, ya que no puedo encontrar nada en Google. Alternativamente, ¿hay alguna condición trivial que estoy pasando por alto? Estuve garabateando durante un tiempo solo escribiendo algunas cosas y me preguntaba si alguien podría decirme algo sobre las condiciones para establecer esa igualdad.

Mi proceso de pensamiento fue el siguiente: dejar $a = a_0.a_1a_2a_3...$ y $b=b_0.b_1b_2b_3...$ . A partir de esto, podemos escribir

a = a_{0} + \sum_{norte = 1}^{k} \frac{a_{k}}{10^{norte}} y b = b_{0} + \sum_{metro = 1}^{j} \frac{b_{metro}}{10^{metro}}

$a = a_0 + \sum_{n=1}^k \frac{a_k}{10^n}\ \ \ \text{and}\ \ \ b = b_0 + \sum_{m=1}^j \frac{b_m}{10^m}$

y luego

\begin{aligned} a b & = (a_{0} + \sum_{norte = 1}^{k} \frac{a_{k}}{10^{norte}}) (b_{0} + \sum_{metro = 1}^{j} \frac{b_{metro}}{10^{metro}}) \\ = a_{0} b_{0} + b_{0} \sum_{norte = 1}^{k} \frac{a_{k}}{10^{norte}} + a_{0} \sum_{metro = 1}^{j} \frac{b_{metro}}{10^{metro}} + (\sum_{norte = 1}^{k} \frac{a_{k}}{10^{norte}}) (\sum_{metro = 1}^{j} \frac{b_{metro}}{10^{metro}}) \end{aligned}

$\begin{align} ab &= \left(a_0 + \sum_{n=1}^k \frac{a_k}{10^n}\right) \left(b_0 + \sum_{m=1}^j \frac{b_m}{10^m}\right)\\ &= a_0b_0 + b_0\sum_{n=1}^k \frac{a_k}{10^n} + a_0\sum_{m=1}^j \frac{b_m}{10^m} + \left(\sum_{n=1}^k \frac{a_k}{10^n}\right)\left(\sum_{m=1}^j \frac{b_m}{10^m}\right) \end{align}$

y luego simplemente tenemos eso

$\lfloor a b \rfloor = \lfloor a \rfloor \lfloor b\rfloor$ si y si
$0 < b_{0} \sum_{norte = 1}^{k} \frac{a_{k}}{10^{norte}} + a_{0} \sum_{metro = 1}^{j} \frac{b_{metro}}{10^{metro}} + (\sum_{norte = 1}^{k} \frac{a_{k}}{10^{norte}}) (\sum_{metro = 1}^{j} \frac{b_{metro}}{10^{metro}}) < 1$ $0 < b_0\sum_{n=1}^k \frac{a_k}{10^n} + a_0\sum_{m=1}^j \frac{b_m}{10^m} + \left(\sum_{n=1}^k \frac{a_k}{10^n}\right)\left(\sum_{m=1}^j \frac{b_m}{10^m}\right) <1$

... más concisamente, vea la respuesta de @MorganRogers para un mejor uso de la notación.

luiz cordeiro

Si

a

$a$ y

b

$b$ son positivos, entonces

a b = ⌊ a ⌋ ⌊ b ⌋ + ⌊ a ⌋ {b} + ⌊ b ⌋ {a} + {a} {b}

$ab=\lfloor a\rfloor\lfloor{b}\rfloor+\lfloor{a}\rfloor\{b\}+\lfloor{b}\rfloor\{a\}+\{a\}\{b\}$ , dónde

{\cdot}

$\{\cdot\}$ significa parte fraccionaria. Resulta que

⌊ a b ⌋ \geq ⌊ a ⌋ ⌊ b ⌋

$\lfloor{ab}\rfloor\geq\lfloor{a}\rfloor\lfloor{b}\rfloor$ , pero si las partes racionales de

a

$a$ y

b

$b$ no son demasiado pequeños, y los números

a

$a$ y

b

$b$ son grandes, los otros términos aumentarán

⌊ a b ⌋

$\lfloor{ab}\rfloor$ mucho.

Surb

@LuizCordeiro: ¡Tienes razón! Borré mi publicación. Gracias por tu comentario.

Eduardo Evans

@Surb ¡Entonces no todo está perdido!

david k

Parece que la multiplicación cruzada se mezcló: deberías haber

a_{0} \sum_{n = 1}^{k} \frac{b_{k}}{10^{n}}

$a_0\sum_{n=1}^k \frac{b_k}{10^n}$ (Observe las letras diferentes,

a

$a$ contra

b

$b$ ), Etcétera.

Respuestas (4)

Cuando ⌊ab⌋=⌊a⌋⌊b⌋⌊ab⌋=⌊a⌋⌊b⌋\lpiso{ab}\rpiso = \lpiso{a}\rpiso\lpiso{b}\rpiso

Si $a$ y $b$ son positivos, entonces $ab=\lfloor a\rfloor\lfloor{b}\rfloor+\lfloor{a}\rfloor\{b\}+\lfloor{b}\rfloor\{a\}+\{a\}\{b\}$ , dónde $\{\cdot\}$ significa parte fraccionaria. Resulta que $\lfloor{ab}\rfloor\geq\lfloor{a}\rfloor\lfloor{b}\rfloor$ , pero si las partes racionales de $a$ y $b$ no son demasiado pequeños, y los números $a$ y $b$ son grandes, los otros términos aumentarán $\lfloor{ab}\rfloor$ mucho.
@LuizCordeiro: ¡Tienes razón! Borré mi publicación. Gracias por tu comentario.
Parece que la multiplicación cruzada se mezcló: deberías haber $a_0\sum_{n=1}^k \frac{b_k}{10^n}$ (Observe las letras diferentes, $a$ contra $b$ ), Etcétera.

morgan rogers · Answer 1

Como se sugiere en los comentarios, ampliemos un poco el LHS. voy a usar $\langle a\rangle$ para representar la parte fraccionaria de $a$ .

⌊ a b ⌋ = ⌊ (⌊ a ⌋ + ⟨ a ⟩) (⌊ b ⌋ + ⟨ b ⟩) ⌋ = ⌊ a ⌋ ⌊ b ⌋ + ⌊ ⌊ a ⌋ ⟨ b ⟩ + ⌊ b ⌋ ⟨ a ⟩ + ⟨ a ⟩ ⟨ b ⟩ ⌋ .

$\lfloor{ab}\rfloor = \lfloor{(\lfloor{a}\rfloor + \langle a\rangle)(\lfloor{b}\rfloor + \langle b\rangle)}\rfloor = \lfloor{a}\rfloor \lfloor{b}\rfloor + \big\lfloor \lfloor{a}\rfloor \langle b\rangle + \lfloor{b}\rfloor \langle a\rangle + \langle a \rangle \langle b\rangle \big\rfloor.$

Por lo tanto, una condición necesaria y suficiente para que se cumpla la ecuación que propones es que

0 < ⌊ a ⌋ ⟨ b ⟩ + ⌊ b ⌋ ⟨ a ⟩ + ⟨ a ⟩ ⟨ b ⟩ < 1.

$0 < \lfloor{a}\rfloor \langle b\rangle + \lfloor{b}\rfloor \langle a\rangle + \langle a \rangle \langle b\rangle < 1.$

Entonces mis pensamientos eran correctos, desafortunadamente lo compliqué demasiado. No tengo mucha experiencia en teoría de números, así que olvidé que existía la notación de "parte fraccionaria" y en su lugar simplemente escribí $a = a_{0} + \sum_{norte = 1}^{k} \frac{a_{norte}}{10^{norte}}$ $a = a_0 + \sum_{n=1}^k \frac{a_n}{10^n}$ y $b$ En una forma similar. Al menos llegué a la misma conclusión. Gracias por tu respuesta.
@gnasher729 Creo que solo obtienes igualdad si $a, b \in \Bbb Z$ , que omití en la pregunta
La parte fraccionaria se puede definir como $\{x\}=\mod (x,1)$ . La parte entera también se puede definir de manera similar como $\lfloor x\rfloor =x-\mod (x,1)$ . Una notación para la parte fraccionaria simplemente no se ha definido universalmente pero es todo.
$\lfloor{a}\rfloor \langle b\rangle + \lfloor{b}\rfloor \langle a\rangle + \langle a \rangle \langle b\rangle$ se puede simplificar a $ab - \lfloor a \rfloor \lfloor b \rfloor$ .

usuario65203 · Answer 2

En el primer cuadrante, en el mosaico cuadrado $[A,A+1)\times[B,B+1)$ , tenemos

⌊ a ⌋ ⌊ b ⌋ = A B

$\lfloor a\rfloor \lfloor b\rfloor=AB$ y

A B \leq a b < (A + 1) (B + 1) .

$AB\le ab<(A+1)(B+1).$

Estamos buscando los puntos tales que

A B \leq a b < A B + 1,

$AB\le ab<AB+1,$ que forman un subconjunto de la tesela delimitada por la hipérbola equilátera

a b = A B + 1.

$ab=AB+1.$

Para todas las baldosas tales que $AB=0$ , las soluciones cubren el área

0 \leq a b < 1,

$0\le ab<1,$ es decir, el espacio entre el eje y

a b = 1

$ab=1$ .

Para las otras fichas, las intersecciones de la hipérbola con las aristas son

\begin{aligned} a & = A \to & A b = A B + 1 \to & b = B + \frac{1}{A}, \\ a & = A + 1 \to & (A + 1) b = A B + 1 \to & b = \frac{A B + 1}{A + 1} \leq B, \\ b & = B \to & a B = A B + 1 \to & b = A + \frac{1}{B}, \\ b & = B + 1 \to & a (B + 1) = A B + 1 \to & b = \frac{A B + 1}{B + 1} \leq A . \end{aligned}

$\begin{align} a&=A\to &Ab=AB+1\to &b=B+\frac1A,\\ a&=A+1\to&(A+1)b=AB+1\to &b=\frac{AB+1}{A+1}\le B,\\ b&=B\to &aB=AB+1\to &b=A+\frac1B,\\ b&=B+1\to &a(B+1)=AB+1\to &b=\frac{AB+1}{B+1}\le A.\\ \end{align}$

Entonces el área de la solución es el interior del triángulo curvilíneo con lados rectos $a=A,b=B$ y la rama de la hipérbola $ab=AB+1$ , de $(A,B+1/A)$ a $(A+1/B,B)$ . El área del triángulo es aproximadamente proporcional a $1/AB$ .

El estudio será similar para los otros cuadrantes.

caleb stanford · Answer 3

Asumimos que $a$ y $b$ son no negativos. Suponer que $m \le a < m + 1$ y $n \le b < n + 1$ . Entonces $mn \le ab < (m+1)(n+1)$ . Entonces es inmediatamente cierto que

⌊ a ⌋ ⌊ b ⌋ \leq ⌊ a b ⌋ .

$\lfloor a \rfloor \lfloor b \rfloor \le \lfloor ab \rfloor.$ Los dos son iguales si y solo si adicionalmente tenemos que

a b < m n + 1

$ab < mn + 1$ . Es decir,

a b - ⌊ a ⌋ ⌊ b ⌋ < 1

$a b - \lfloor a \rfloor \lfloor b \rfloor < 1$ Si queremos escribir

a = m + r

$a = m + r$ ,

b = n + s

$b = n + s$ , dónde

0 \leq r, s, < 1

$0 \le r, s, < 1$ , entonces esto se convierte en el enunciado de que

metro s + norte r + r s < 1.

$ms + nr + rs < 1.$ El

r s

$rs$ factor está acotado por ambos

r

$r$ y

s

$s$ , por lo que esta expresión se trata de

m s + n r

$ms + nr$ . En términos generales, esto dice que si

a

$a$ y

b

$b$ son grandes y del orden de

M

$M$ , entonces sus partes fraccionarias deben sumar como máximo

\frac{1}{2 M}

$\frac{1}{2M}$ .

sangre de pulga · Answer 4

$a = [a] + \{a\}$ dónde $[a]$ es un entero y $0 \le \{a\} <1$ .

Entonces $[ab] = [[a][b] + [b]\{a\} + [a]\{b\} + \{a\}\{b\}] = [a][b] + [[b]\{a\} + [a]\{b\} + \{a\}\{b\}] = [a][b] \iff 0 \le [b]\{a\} + [a]\{b\} + \{a\}\{b\} < 1$

Así que necesitamos entre otras cosas que $\{a\} < \frac 1b - \frac{[a]\{b\}}b$ y $\{b\} < \frac 1a - \frac{[b]\{a\}}a$ .

Eso es toda una restricción.

Básicamente, cuanto más grande es $a$ y $b$ son las partes fraccionarias deben ser minúsculas.

Por ejemplo: si $a = 2\frac 14$ entonces $b < 4- 8\{b\});\{b\} < \frac 12;$ y $\{b\} < 4/9 - \frac{[b]}9$ . Así que si, digamos $3 \le b < 4$ tendríamos $\{b\} < 1/9$ .

Entonces $2.25$ y $3.1$ hará como $[2.25*3.1] = [6.975] = 6 = [2.25][3.1]$ . ¿Ves lo cerca que estuvo eso de fallar?

Cuando ⌊ab⌋=⌊a⌋⌊b⌋⌊ab⌋=⌊a⌋⌊b⌋\lpiso{ab}\rpiso = \lpiso{a}\rpiso\lpiso{b}\rpiso

Eduardo Evans

luiz cordeiro

Surb

Eduardo Evans

david k

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morgan rogers

Eduardo Evans

gnasher729

Eduardo Evans

Buque

Varun Vejalla

usuario65203

caleb stanford

sangre de pulga

Existen infinitos números primos de la forma p=⌊n−−√+n+1−−−−−√⌋p=⌊n+n+1⌋p = \lfloor\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}\rpiso.

¿Por qué ⌊n−−√⌋⌊n⌋\lfloor \sqrt{n} \rfloor cambia como máximo en uno cuando se incrementa nnn?

Demostrar que (3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)2(3a+3b) !(2a)!(3b)!(2b)!(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)2\frac{(3 a+3 b) !( 2 a) !(3 b) !(2 b) !}{(2 a+3 b) !(a+2 b) !(a+b) ! a !(b !)^{2}} es un número entero.

Demostrando que ∑b−1i=1⌊abi⌋=∑a−1j=1⌊baj⌋∑i=1b−1⌊abi⌋=∑j=1a−1⌊baj⌋ \sum_{i=1}^{b -1} \left\lpiso \frac{a}{b}i \right\rpiso = \sum_{j=1}^{a-1} \left\lpiso \frac{b}{a}j \right\ piso

∑(p−1)2i=0[qip]+∑(q−1)2i=0[piq]=(p−1)(q−1)4∑i=0(p−1)2[qip] +∑i=0(q−1)2[piq]=(p−1)(q−1)4\sum_{i=0}^{\frac{(p-1)}{2}} [\ fracción{qi}{p}] + \sum_{i=0}^{\frac{(q-1)}{2}} [\frac{pi}{q}] = \frac{(p-1) (q-1)}{4} para primos impares distintos p,qp,qp,q

Generalizando r(n2)=r(n)2,r(n2)=r(n)2,\,r(n^2) = r(n)^2,\, para r(n):=r( n):=\,r(n) := invertir los dígitos de nnn

Suma de recíprocos de números impares que suman 222

Ocho ceros están escritos en una pizarra...

¿Nuevas identidades para los números de Fibonacci generalizados?

Una propiedad interesante de los números de Fibonacci