Visualizando el factorial

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Visualizando el factorial

factorial
Matemáticas
visualización
teoría-de-números-elemental

Krijn

A menudo, en matemáticas básicas, podemos visualizar cosas muy fácilmente, lo que creo que ayuda a comprender (en lugar de simplemente resolver una prueba teórica numérica). Por ejemplo:

(norte + 1)^{2} - {norte}^{2} = (norte + 1) + norte

$(n+1)^2 - n^2 = (n+1) +n$

puede ser visualizado por cuadrados. Eliminar un cuadrado con lados $n$ de un cuadrado de lados $n+1$ sale de la fila superior ( $n+1$ ) y la fila derecha sin la parte superior ( $n$ ) (hecho aquí con diamantes y balas para $n = 4$ ).

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ∙ ∙ ∙ ∙ ⋄ ∙ ∙ ∙ ∙ ⋄ ∙ ∙ ∙ ∙ ⋄ ∙ ∙ ∙ ∙ ⋄

$\diamond \diamond \diamond \diamond \diamond \\ \bullet \bullet \bullet \bullet \diamond \\ \bullet \bullet \bullet \bullet \diamond \\ \bullet \bullet \bullet \bullet \diamond \\ \bullet \bullet \bullet \bullet \diamond$

Otro ejemplo es demostrar que

\sum_{i = 1}^{norte} 2 \cdot i = {norte}^{2} + norte

$\sum_{i = 1}^n 2\cdot i = n^2 + n$ que se puede hacer de la siguiente manera (por

n = 4

$n = 4$ ):

⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ⋄ ∙ ⋄ ⋄ ∙ ∙ ⋄ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

$\diamond \diamond \diamond \diamond \\ \diamond \diamond \diamond \bullet \\ \diamond \diamond \bullet \bullet \\ \diamond \bullet \bullet \bullet \\ \bullet \bullet \bullet \bullet$

Aquí, vemos dos triángulos, el que tiene diamantes con longitudes de fila de $1$ a $n$ y el de las balas saliendo de $1$ a $n$ , que representa la suma. También vemos un $(n+1) \times n$ rectángulo, que representa el lado derecho. Esto prueba el teorema.

Estaba trabajando con las mismas pruebas básicas de teoría de números y pruebas de inducción porque me gusta visualizarlas. Es bastante fácil de visualizar $n^a$ como un $a$ -cubo dimensional con lados $n$ . El problema es que muchas veces tengo dificultad para visualizar el factorial: $n!$

¿Alguien sabe de una buena manera de visualizar el factorial?

Lo mejor que se me ocurrió es lo siguiente:

Ver $2!$ como solo dos puntos $\bullet \bullet$ .

Ver $3!$ como un triángulo con los lados hechos con $2!$ , p.ej

\cdot ∙ ∙ ∙ ∙ \cdot ∙ ∙ \cdot

$\cdot \\ \bullet \quad \bullet \\ \bullet \quad \quad \bullet \\ \cdot \space \space \bullet \bullet \space \space \cdot$

Ahora ve $n!$ como un $n$ -gon con los lados hechos del $(n-1)$ -gon. (Entonces $4!$ sería un cuadrado con un $3!$ -triángulo en sus lados.)

No es muy fácil trabajar con esta visualización cuando desea visualizar pruebas. ¿Hay mejores formas de visualizar $n!$ ?

EDITAR: Debo enfatizar que me gustaría visualizar $n!$ usando puntos o líneas más o menos, no tanto con conceptos (definitivamente es más fácil entender el factorial usando permutaciones, al igual que es más fácil probar algunas declaraciones usando álgebra, sin embargo, el punto es que estoy tratando de probar estas cosas usando estos visualizaciones muy concretas y reales.)

wythagoras

Tal vez el número de formas de ordenar

n

$n$ ¿libros?

usuario65203

Visualizante

n!

$n!$ No puede ser fácil ya que crece muy rápido.

abiesu

Si no recuerdo mal, no es solo un

(n - 1)

$(n-1)$ -gon, en realidad es la forma de "tres lados" de la siguiente dimensión superior, es decir, la progresión es "punto, línea, triángulo, tetraedro,

4

$4$ tetraedro de ª dimensión, ..." En particular, sigue directamente la progresión del Triángulo de Pascal para el

n

$n$ número de términos en

(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n})^{k}

$(a_1+ a_2+a_3+\dots+a_n)^k$ .

Krijn

Estoy buscando una visualización más concreta, como con puntos.

Krijn

@abiessu No veo por qué ese sería el caso. El número de puntos en este

2

$2$ La representación D es

n!

$n!$ , ya que solo multiplicamos nuestro

(n - 1)!

$(n-1)!$ -construcción

n

$n$ veces.

abiesu

Parte de la razón por la que aparece la visualización de dimensión creciente es porque surge naturalmente como consecuencia de la relación con el Triángulo de Pascal y el hecho de que el término más alto cuenta en la evaluación de

(a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n})^{k}

$(a_1+ a_2+a_3+\dots+a_n)^k$ tener lugar en versiones de mayor dimensión de dicho triángulo.

Krijn

Ah, ahora veo lo que quieres decir. Yo diría que es una forma diferente de visualizarlo que mi enfoque, ¡pero creo que se ajusta mejor a mi propósito!

Akiva Weinberger

Por lo general, solo pienso en ello como la cadena de símbolos "

n!

$n!$ , y solo recuerda que puedo reemplazar

n!

$n!$ con

n (n - 1)!

$n(n-1)!$ en cualquier momento. O eso, o la cantidad de formas de organizar

n

$n$ objetos.

Akiva Weinberger

Tal vez algo como esto : un árbol con

n

$n$ "niños" saliendo del primer vértice,

n - 1

$n-1$ "niños" que salen del segundo, etc. (O el orden inverso).

Respuestas (4)

Visualizando el factorial

Visualizante $n!$ No puede ser fácil ya que crece muy rápido.
Si no recuerdo mal, no es solo un $(n-1)$ -gon, en realidad es la forma de "tres lados" de la siguiente dimensión superior, es decir, la progresión es "punto, línea, triángulo, tetraedro, $4$ tetraedro de ª dimensión, ..." En particular, sigue directamente la progresión del Triángulo de Pascal para el $n$ número de términos en $(a_1+ a_2+a_3+\dots+a_n)^k$ .
Estoy buscando una visualización más concreta, como con puntos.
@abiessu No veo por qué ese sería el caso. El número de puntos en este $2$ La representación D es $n!$ , ya que solo multiplicamos nuestro $(n-1)!$ -construcción $n$ veces.
Parte de la razón por la que aparece la visualización de dimensión creciente es porque surge naturalmente como consecuencia de la relación con el Triángulo de Pascal y el hecho de que el término más alto cuenta en la evaluación de $(a_1+ a_2+a_3+\dots+a_n)^k$ tener lugar en versiones de mayor dimensión de dicho triángulo.
Ah, ahora veo lo que quieres decir. Yo diría que es una forma diferente de visualizarlo que mi enfoque, ¡pero creo que se ajusta mejor a mi propósito!
Por lo general, solo pienso en ello como la cadena de símbolos " $n!$ , y solo recuerda que puedo reemplazar $n!$ con $n(n-1)!$ en cualquier momento. O eso, o la cantidad de formas de organizar $n$ objetos.
Tal vez algo como esto : un árbol con $n$ "niños" saliendo del primer vértice, $n-1$ "niños" que salen del segundo, etc. (O el orden inverso).

Dave L Renfro · Answer 1

Una forma es el número total de hojas de un árbol (único) enraizado en el que cada hoja está mínimamente unida a la raíz por exactamente $n-1$ aristas, y que tiene la siguiente propiedad: la raíz tiene $2$ hijos, cada hijo de la raíz tiene $3$ hijos, cada hijo de cada hijo de la raíz tiene $4$ hijos, y así sucesivamente hasta llegar a las hojas. Un término natural para esto es árbol factorial , pero no sé si esta frase es de uso general para esta noción.

por ejemplo, para $n = 4$ :

¡Excelente! Muy relacionado con el comentario de @columbus8myhw, aunque al revés.
No vi el comentario de @ columbus8myhw hasta ahora, ¡o tal vez no me hubiera molestado! Aparentemente, el comentario no estaba disponible justo cuando comenzaba mi hora de almuerzo, hace poco más de una hora cuando pensé en publicar (y finalmente decidí publicar) una respuesta, y no revisé los comentarios para ver si había alguna novedad. habían aparecido.
@DaveL.Renfro: ¿Creo que te refieres a "niño" en lugar de " hermano "?
@Dave L. Renfro, he creado el árbol factorial para $n = 4$ , aquí _ Quizás sería útil mostrarlo en su respuesta.
No sé cómo pegar imágenes en una respuesta de stackexchange. Eso fue lo que quise decir con "cómo hacer tales cosas en una publicación de stackexchange".
@Krijn Ahora desea encontrar una forma natural de asignar una permutación a cada hoja. (Creo que el orden inverso funciona mejor para esto, en realidad, el primero $n$ las ramas deciden el primer elemento en su permutación, el siguiente $n-1$ decidir el segundo elemento, etc.)

vectornauta · Answer 2

la forma en que veo $n!$ es un híbrido de las visualizaciones de avid19 y Dave L. Renfro : Imagino $n$ gente haciendo cola una a una. Creo que realmente ayuda imaginar personas, animales, frutas o algo así, en lugar de símbolos aburridos: así se hace en Math For Smarty Pants de Burns y Weston , y parece haberme impresionado bastante. Desafortunadamente, mi teclado no tiene frutas, así que tal vez intente imaginar los dígitos a continuación anclados a algunos jugadores de hockey.

La primera persona no tiene elección sobre dónde unirse a la fila, ya que aún no hay fila.

1
La segunda persona puede unirse en dos lugares: el frente o la parte posterior.

2 1 1 2
La tercera persona puede unirse en tres lugares: el frente, el medio o la parte de atrás.

3 21 2 3 1 21 3

3 12 1 3 2 12 3
La cuarta persona puede unirse en cuatro lugares.

4 321 3 4 21 32 4 1 321 4

4 231 2 4 31 23 4 1 231 4

4 213 2 4 13 21 4 3 213 4

4 312 3 4 12 31 4 2 312 4

4 132 1 4 32 13 4 2 132 4

4 123 1 4 23 12 4 3 123 4
La quinta persona puede unirse en cinco lugares...

usuario2566092 · Answer 3

Aquí hay una visualización geométrica en dimensiones más altas. Puedes tomar un hipercubo en dimensión $d$ (básicamente el producto cartesiano de $n$ copias del intervalo $[0,c]$ para cualquier $c > 0$ que desee), y luego triangule (es decir, particione) en simples de igual volumen (un simplex en $d$ dimensiones es un casco convexo dimensional completo de $d+1$ puntos, es decir, análogo dimensional superior de triángulos para $d = 2$ ) dibujando primero la arista desde el origen hasta la esquina opuesta del hipercubo (por lo que las esquinas opuestas son vértices incluidos en cada símplex), y luego muévase a lo largo de una arista del cubo incidente al origen para obtener su próximo vértice, luego muévase más cerca de la esquina opuesta tomando un borde incidente a ese vértice para obtener el siguiente vértice, y así sucesivamente hasta llegar a la esquina opuesta. Puede atravesar los bordes alineados con la dimensión en cualquier orden que desee obtener $d+1$ vértices de un símplex distinto, y los interiores de los símplex son disjuntos, y el número de símplex congruentes que obtienes en esta partición es igual al número de formas en que puedes ordenar las dimensiones, que es $d!$ . Así, si $c = 1$ , entonces cada símplex en esta partición tiene volumen $1/d!$ y todos son congruentes.

Una construcción relacionada es considerar el volumen del símplex cuyos vértices son el origen junto con los puntos finales de $d$ vectores linealmente independientes $v_i$ que se extiende desde el origen. Este sólido tiene la descripción $\{ \sum_i c_i v_i \, | \, \sum_i c_i \leq 1, c_i \geq 0$ } donde el $v_i$ son sus vectores. El paralelepípedo (análogo del hipercubo) atravesado por estos vectores $v_i$ por otro lado tiene la descripción $\{ \sum_i c_i v_i \, | \, 0 \leq c_i \leq 1 \}$ . Es un hecho geométrico que el volumen del paralelepípedo es $d!$ veces el volumen del símplex, y el volumen del paralelepípedo es $|\det V|$ dónde $V$ es la matriz de los vectores que forman el paralelepípedo.

Esta es una visualización bastante difícil. Me gustan (especialmente el segundo), pero estaba buscando uno más simple, uno que aún tuviera sentido para un estudiante de secundaria o un estudiante de primer año.
@Krijn Bastante temprano en la licenciatura (por ejemplo, en el primer o segundo año), por lo general, uno tiene la oportunidad de tomar álgebra lineal básica y luego, al menos si a veces adoptan un enfoque geométrico, es de esperar que todo esto se explique. Lamento no haber podido darte una respuesta más cercana a lo que buscabas.
¡No te disculpes! Sin duda me gustó la respuesta. Sin embargo, estaba buscando una respuesta que explicara fácilmente, por ejemplo, por qué $n!$ crece más rápido entonces $n^a$ o eso podría probar $\sum_{i=1}^n\frac{i-1}{i!} = \frac{n!-1}{n!}$ utilizando un enfoque visual.
@Krijn No sé si lo llamaría exactamente "visual", pero según la definición de factorial, puede mostrar fácilmente el patrón que le da su segunda ecuación, por ejemplo, simplemente agregando $1/n!$ a ambos lados y ver el patrón de lo que sucede en los cálculos si comienzas con $i=n$ y sigue tu camino hacia abajo. Eso básicamente tiene que ver con el hecho de que los factoriales se pueden usar como un sistema base para escribir números, lo cual es un hecho interesante sobre ellos.
@Krijn También para su primer reclamo, puede escribir $(n!)^2$ e imagine visualmente tomar productos de términos por pares con $n!$ escrito hacia adelante como un producto en una copia y hacia atrás en la otra. Entonces no es demasiado difícil ver que cada producto de términos por pares es mayor o igual que $n$ , el cual muestra $n! \geq n^{n/2}$ . Visual, tal vez no como querías decir visual.
Lo siento, es posible que tenga que usar una palabra diferente a visual. De hecho, no es que esté tratando de probar estas ecuaciones en general, son solo ejemplos de cosas que esperaba poder explicar usando puntos, en lugar de la teoría de números.

usuario223391 · Answer 4

Puede que esto no sea lo que estás buscando, pero visualizo un factorial como un proceso. $5!$ es de cuántas maneras puedes arreglar 5 cosas. Me visualizo arreglando 5 cosas. No es una representación como puntos pero personalmente es poderosa.

Puedes *visualizar*la cantidad de formas en que uno puede ordenar $5$ ¿cosas? Estoy impresionado. Apenas puedo hacer $3$ sin tratar antinaturalmente en mi cabeza.
@soke No las formas individuales, por supuesto. Pero el proceso de la misma. "5 cosas aquí, luego 4, luego..." que es básicamente la definición del factorial

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¿Se puede visualizar la teoría de números?

Factorial del teorema de Wilson

Factorial expresado en términos de otros dos factoriales

En las ecuaciones factoriales A!B!=C!A!B!=C!A! ¡B! =C! y A!B!C!=D!A!B!C!=D!A!B!C! = D!

Si NNN es múltiplo de 100100100, N!N!N! termina con (N4−1)(N4−1)\left(\frac{N}4-1 \right) ceros.

Demostrar que (3a+3b)!(2a)!(3b)!(2b)!(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)2(3a+3b) !(2a)!(3b)!(2b)!(2a+3b)!(a+2b)!(a+b)!a!(b!)2\frac{(3 a+3 b) !( 2 a) !(3 b) !(2 b) !}{(2 a+3 b) !(a+2 b) !(a+b) ! a !(b !)^{2}} es un número entero.

Primos hechos de factoriales alternos

¿Cómo resuelvo este problema de divisibilidad?

Factoriales... ¿Cómo lo hacen?

Generalizando r(n2)=r(n)2,r(n2)=r(n)2,\,r(n^2) = r(n)^2,\, para r(n):=r( n):=\,r(n) := invertir los dígitos de nnn