Cómo derivar una relación para la derivada del tiempo en un marco de referencia giratorio

Los componentes de cualquier función vectorial se pueden escribir en cualquier base deseada. En particular, deja

$$\begin{align} \mathbf A_L(t) = (A^1_L(t) , A^2_L(t), A^3_L(t)) \end{align}$$ denote las componentes de una función vectorial escritas en una base ortonormal fijada en el laboratorio, y sea $$\begin{align} \mathbf A_R(t) = (A^1_R(t), A^2_R(t), A^3_R(t)) \end{align}$$ denote los componentes del mismo vector escritos en una base ortonormal rotativa. Estos componentes estarán relacionados por una matriz ortogonal especial dependiente del tiempo (rotación); $$\begin{align} \mathbf A_L(t) = R(t)\mathbf A_R(t) \end{align}$$ En particular, tenga en cuenta que tomar derivadas de tiempo en ambos lados da $$\begin{align} \dot{\mathbf A}_L(t) &= R(t) \dot{\mathbf A}_R(t) + \dot R(t) \mathbf A_R(t) \\ &= R(t) \dot{\mathbf A}_R(t) + \dot R(t) R(t)^T\mathbf A_L(t) \end{align}$$ Desde $R(t)$es una matriz ortogonal, tenemos $$\begin{align} R(t)R(t)^T = I \end{align}$$ y tomando derivadas de ambos lados, y usando el hecho de que las derivadas en el tiempo y las transpuestas matriciales conmutan, encontramos que $$\begin{align} \dot R(t) R(t)^T = -(\dot R(t)R(t)^T)^T \end{align}$$ en otras palabras, $\dot R(t) R(t)^T$es una matriz antisimétrica. No perdemos generalidad al escribir por lo tanto $$\begin{align} \dot R(t) R(t)^T = \Omega(t) \end{align}$$ dónde $$\begin{align} \Omega(t) = \begin{pmatrix} 0 & -\omega^3(t) & \omega^2(t) \\ \omega^3(t) & 0 & -\omega^1(t) \\ -\omega^2(t) & \omega^1(t) & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align}$$ para algún vector de funciones $\boldsymbol\omega=(\omega^1, \omega^2, \omega^3$). Por lo tanto, tenemos $$\begin{align} \dot {\mathbf A}_L(t) = R(t)\dot{\mathbf A}_R(t) + \Omega(t)\mathbf A_L(t) \end{align}$$ Es sencillo mostrar explícitamente que la multiplicación por $\Omega(t)$es equivalente a un producto vectorial por $\boldsymbol\omega(t)$, entonces podemos escribir $$\begin{align} \Omega(t) \mathbf A_L(t) = \boldsymbol\omega(t)\times\mathbf A_L(t) \end{align}$$ y por lo tanto se nos permite la expresión $$\begin{align} \boxed{\dot{\mathbf A}_L(t) = R(t)\dot{\mathbf A}_R(t) + \boldsymbol\omega(t)\times\mathbf A_L(t)} \end{align}$$ Si hacemos las identificaciones $$\begin{align} \dot{\mathbf A}_L(t) &=\left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_\mathrm{laboratory} \\ R(t)\dot{\mathbf A}_R(t) &=\left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_\mathrm{rotating} \end{align}$$ entonces vemos que esto es equivalente a su fórmula. En mi opinión, la notación física en la fórmula que escribiste es extremadamente confusa, y prefiero usar la notación más descriptiva en la expresión encuadrada arriba; Encuentro que conduce a menos errores y es más claro conceptualmente.

Consideraré marcos de referencia bidimensionales y usaré la transformación galileana, adaptada a su problema particular. Así es como me imagino esto:

Aquí,$\vec{r}$es el vector de posición de un punto, visto desde el marco del laboratorio;$\vec{r_0}$es el vector de posición del centro del otro marco (en movimiento); y$\vec{r'}$es la posición del punto visto desde el marco imprimado. Tenga en cuenta que$\vec{r'}$describirá un círculo, por lo que podemos escribirlo como:

$$\vec{r'}=r'\cos(\omega t) \vec{i}+r'\sin(\omega t) \vec{j}$$ (asumiendo que la partícula comienza en un ángulo $0$cuando $t=0$).

Ahora, claramente, tenemos$\vec{r}=\vec{r_0}+\vec{r'}$. Derivando esto con respecto al tiempo, obtenemos:

$${\frac{d\vec{r}}{dt}}={\frac{d\vec{r_0}}{dt}}+{\frac{d\vec{r'}}{dt}}$$

que es lo mismo que

$$\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{v'}$$ dónde $\vec{v}$es la velocidad vista desde el marco del laboratorio, $\vec{v_0}$es la velocidad del marco en movimiento, y $\vec{v'}$es la velocidad en el marco en movimiento.

Pero$\vec{v'}={\frac{d\vec{r'}}{dt}}=-\omega r'\sin(\omega t)\vec{i}+\omega r'\sin(\omega t)\vec{j}$, por lo que finalmente obtenemos:

$$\vec{v}=\vec{v_0}+\omega r' [-\sin(\omega t)\vec{i}+\cos(\omega t)\vec{j}]$$

Para encontrar las aceleraciones, puedes derivar nuevamente esta relación.