Cilindro vs cilindro del doble de radio ruedan por un plano inclinado, ¿cuál gana?

La siguiente ecuación de @R. El análisis de Romero es correcto:

$$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}I\left(\frac{v^2}{R^2}\right)\tag{1}$$ Pero, el momento de inercia de un cilindro está dado por: $$I=M\frac{R^2}{2}\tag{2}$$ Entonces, combinando las Ecs. 1 y 2 da: $$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{4}Mv^2\tag{3}$$ Calculando M de ambos lados de la ecuación se obtiene: $$gh=\frac{1}{2}v^2+\frac{1}{4}v^2\tag{4}$$ Entonces, resolviendo para v, tenemos: $$v=\sqrt{\frac{4gh}{3}}$$ Tenga en cuenta que esto es independiente del radio del cilindro. Entonces, ambos cilindros ruedan por la rampa en la misma cantidad de tiempo.

La conservación de la energía nos dice que la energía potencial se convierte en energía cinética cuando los discos caen. Si ruedan sin deslizarse, parte de la energía se convierte en energía cinética de traslación y parte en energía cinética de rotación.

La condición de rodamiento sin deslizamiento requiere que la velocidad del disco sea igual a la velocidad de rotación por el radio$v=\omega R$.

Energía cinética total =$\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2$

Entonces:

$$Mgh=\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{2}I_1(\frac{v_1^2}{R^2})=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{2}I_2\frac{v_2^2}{4R^2}$$

$I_1=\frac{1}{2}MR^2$

$I_2=\frac{1}{2}4MR^2=2MR^2$

Podemos tomar la relación de las velocidades al cuadrado:

$$\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v_1^2}{R^2})=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{2}(2MR^2)\frac{v_2^2}{4R^2}$$

$$\frac{1}{2}Mv_1^2+\frac{1}{4}(M)(v_1^2)=\frac{1}{2}Mv_2^2+\frac{1}{4}(M)v_2^2$$

$$\frac{v_1^2}{v_2^2}=\frac{1+\frac{I_2}{4MR^2}}{1+\frac{I_1}{MR^2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=1$$

Así que estoy corregido. Usando los radios apropiados consistentemente, las velocidades terminan siendo las mismas.

Mi proceso de pensamiento fue que dado que el radio se duplicó, c = 2

$c$no es el momento de inercia en sí mismo, es la constante en$I = cMR^2$. Para sus dos cilindros sólidos, la constante será la misma, aunque$I$diferirá porque$R$diferirá

De manera similar, si su momento de inercia aumenta, su aceleración angular y lineal disminuye.

Tienes razón en que la aceleración angular disminuye. Pero eso no significa que la aceleración lineal disminuya.

Si ponemos la misma energía de rotación en los cilindros, el más grande debe girar más lento. ¿Cuánto más lento?

$$E = \frac{1}{2} I \omega^2$$ $$\omega ^2 = \frac {2 E}{I}$$ $$\omega = \sqrt{ \frac {2 E}{MR^2} }$$

Como la masa y la energía son constantes aquí, podemos reemplazarlas y el factor de dos con una sola constante$k$.

$$\omega = \frac{k}{R}$$

A medida que I sube (y la energía y la masa son constantes) tiene una velocidad angular que es inversamente proporcional a R. Pero como está rodando, sabemos que$v = \omega R$.

$$v = \omega R$$ $$v = \frac{k}{R} R = k$$

El radio se ha caído. La velocidad de rotación depende del radio, pero la velocidad lineal no.