Cómo encontrar la suma de elementos de eMeMe^M donde MMM es una matriz.

Question

Cómo encontrar la suma de elementos de eMeMe^M donde MMM es una matriz.

harry potter

La pregunta es

Si $M=\left(\begin{matrix} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{matrix}\right)$ y $e^M=I+M+\frac{1}{2!}M^2+\cdots$ . Si $e^M=[b_{ij}]$ entonces cual es el valor de
$\frac{1}{mi} \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} b_{i j}$ $\frac{1}{e}\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}b_{ij}$

No tengo idea de cómo resolver esto, pero traté de calcular los poderes de $M$ , y sumando la serie $e^M$ pero eso no me dio una idea clara. ¿Cómo puedo hacer esto? Cualquier ayuda es apreciada.

Nebo Alex

aplicar el teorema de Cayley-Hamilton

Respuestas (3)

Cómo encontrar la suma de elementos de eMeMe^M donde MMM es una matriz.

usuario1551 · Answer 1

Pista. Dejar $N=\pmatrix{0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0}$ . Entonces $M=I+N$ y $N^3=0$ . Por lo tanto, la serie de potencias para $e^N$ es una serie finita y se puede calcular $e^N$ fácilmente. Ahora, usando el hecho de que $e^{A+B}=e^Ae^B$ para matrices conmutadas $A,B$ , puedes calcular $e^M=e^{I+N}$ explícitamente. La cantidad requerida $\frac1e\sum_{i,j}b_{ij}$ es simplemente la suma de todas las entradas de $e^M$ dividido por $e$ .

Crostul · Answer 2

Puede probar por inducción que

{METRO}^{k} = (\begin{matrix} 1 & k & (\binom{k}{2}) \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$M^k = \left( \begin{matrix} 1 & k & \binom{k}{2} \\ 0 & 1 & k \\ 0&0&1\end{matrix} \right)$ de modo que

b_{11} = b_{22} = b_{33} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} = mi

$b_{11} =b_{22} =b_{33} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}=e$

b_{12} = b_{23} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} k = mi

$b_{12}=b_{23} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}k = e$

b_{13} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{k (k - 1)}{2} = mi / 2

$b_{13} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\frac{k(k-1)}{2}=e/2$ es decir

{mi}^{METRO} = (\begin{matrix} mi & mi & mi / 2 \\ 0 & mi & mi \\ 0 & 0 & mi \end{matrix})

$e^M = \left( \begin{matrix} e & e & e/2 \\ 0 & e & e \\ 0&0&e\end{matrix} \right)$ ¿Puedes concluir ahora?

no creo $M^k$ toma esa forma. he calculado $M^2$ y consiguió $\left(\begin{matrix} 1&2&1\\ 0&1&2\\ 0&0&1 \end{matrix}\right)$ . ¿Puedes verificar?
@HarryPotter Tienes razón. La esquina superior derecha es distinta de cero en $M^k$ y $e^M$ .
la fórmula de recurrencia para el elemento de la esquina es $a_{n}=\sum_{k=1}^{n}(k+a_{k-1})$
@HarryPotter Tienes razón, hice los cálculos demasiado rápido. Ahora es correcto, creo.

usuario245074 · Answer 3

tienes la siguiente igualdad $M^{k}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & k & \frac{(k-1)k}{2} \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$ entonces tienes el siguiente resultado:

b_{11} = b_{22} = b_{33} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} = mi

$b_{11}=b_{22}=b_{33}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e$

b_{12} = b_{23} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k}{k!} = mi

$b_{12}=b_{23}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k}{k!}=e$ y

b_{13} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k (k - 1)}{2 k!} = \frac{mi}{2}

$b_{13}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k(k-1)}{2k!}=\frac{e}{2}$ finalmente, la suma que quieres es:

\frac{1}{mi} (3 mi + 2 mi + \frac{mi}{2}) = \frac{11}{2}

$\frac{1}{e}\left(3e+2e+\frac{e}{2}\right)=\frac{11}{2}$

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Nebo Alex

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