Definición de pendiente de tangente a una curva usando límites

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Definición de pendiente de tangente a una curva usando límites

cálculo
definición
Matemáticas
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sebastianlinde

Estoy estudiando cálculo por mi cuenta y estoy un poco atascado en la definición de la pendiente de una línea tangente a un punto en una curva. Entiendo un poco la definición, pero comencé a preguntarme por qué se eligió la definición actual. Básicamente, no entiendo por qué no tomamos el siguiente límite como definición:

pendiente = \underset{q \to PAG}{límite} {pendiente}_{segundo} = \underset{y_{1} \to y_{0}}{límite} \frac{y_{1} - y_{0}}{X_{1} - X_{0}}

$\text{slope} = \lim\limits_{Q\to P}\text{slope}_{\text{sec}} = \lim\limits_{y_1\to y_0}\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$ En su lugar, usamos lo siguiente:

pendiente = \underset{q \to PAG}{límite} {pendiente}_{segundo} = \underset{X_{1} \to X_{0}}{límite} \frac{y_{1} - y_{0}}{X_{1} - X_{0}}

$\text{slope} = \lim\limits_{Q\to P}\text{slope}_{\text{sec}} = \lim\limits_{x_1\to x_0}\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$

enedil

¿Cómo encontrarías la derivada de

f (x) = 1

$f(x)=1$ ¿entonces? El punto es, si

f

$f$ es una función, para cualquier

x

$x$ , hay exactamente uno

y

$y$ calle

f (x) = y

$f(x)=y$ .

sebastianlinde

@enedil Gracias por el comentario. Tienes un buen argumento.

Respuestas (1)

Definición de pendiente de tangente a una curva usando límites

¿Cómo encontrarías la derivada de $f(x)=1$ ¿entonces? El punto es, si $f$ es una función, para cualquier $x$ , hay exactamente uno $y$ calle $f(x)=y$ .
@enedil Gracias por el comentario. Tienes un buen argumento.

Juan Omielan · Answer 1

Usando un gráfico, podría hacerlo de la manera que sugiere con relativa facilidad. Sin embargo, de manera más general, si está utilizando una definición de función, creo que el problema básico es que necesitaría encontrar el inverso de la función. Como comentó enedil, para $x_1 \to x_0$ , puedes determinar $y_1$ para cada $x_1$ fácilmente usando la definición de la función, es decir, $f(x_1) = y_1$ . Sin embargo, si intentaste $y_1 \to y_0$ en su lugar, para determinar los valores correspondientes de $x_1$ , necesitaría usar la función inversa, es decir, $x_1 = f^{-1}(y_1)$ . Sin embargo, no todas las funciones tienen inversas y, aunque las tengan, se requiere más trabajo del necesario para calcularlas.

En resumen, para tener una sola definición que cubra tanto el uso de un gráfico como una función, tiene más sentido tener $x_1 \to x_0$ .

Definición de pendiente de tangente a una curva usando límites

sebastianlinde

enedil

sebastianlinde

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Juan Omielan

sobre derivados

¿Cuál es la definición formal de una integral indefinida?

Diferencia entre estas dos definiciones de límites

Definiciones de Derivada: h→0h→0h \to 0 vs z→xz→xz \to x

ϵϵ\epsilon - δδ\delta definición de un límite - menor ϵϵ\epsilon implica menor δδ\delta?

¿Cuál es la definición correcta del límite de una función?

(Desacuerdo entre usuarios acreditados) Integral indefinida vs. Integral definida vs. Anti-derivada

¿Diferencia entre los ordinales de Cantor y los ordinales de Von Neumann?

¿Por qué no definir 'límites' para incluir puntos aislados?

ϵ,δϵ,δ\epsilon, \delta... ¿Y qué?