¿Cómo podemos razonar sobre enunciados "si P entonces Q" o "P sólo si Q" en lógica proposicional?

Cómo pensar en " P  ⊃  Q " en inglés simple

En lógica proposicional, P ⊃ Q es lo que se llama una implicación material . No significa que P y Q signifiquen lo mismo (puede que no tengan el mismo valor de verdad); todo lo que es, es una afirmación de que si P es verdadera, entonces Q también lo es, sin hacer más afirmaciones que esta.

Una forma alternativa de considerar P ⊃ Q es como una "restricción" que alguien afirma que se cumple para el estado de cosas. Esa restricción se cumple (en cuyo caso P  ⊃  Q es verdadera) o se viola (en cuyo caso P  ⊃  Q es falsa). Esta imagen es algo diferente de la forma habitual en que pensamos en las declaraciones "si-entonces", que se parece más a la causalidad que a la restricción . Por esta razón, podría ser útil describir P  ⊃  Q como

• " P sólo si Q " (si P se cumple, entonces es mejor que se cumpla Q para que se satisfaga la restricción); o
• "ya sea ¬ P o Q " (si ¬ P es falso, entonces Q tiene que ser verdadero si se quiere satisfacer la restricción).

En este sentido, podemos pensar en "satisfacer la restricción P  ⊃  Q " como algo así como una teoría sobre cómo es el mundo. Si es verdad, nunca se viola; pero si puede encontrar un contraejemplo, entonces debe ser falso.

Condiciones necesarias y condiciones suficientes

En el caso de que P  ⊃  Q realmente se cumpla, las dos expresiones diferentes "si P entonces Q " y " P solo si Q " nos permiten describir fácilmente la relación entre P y Q en términos de condiciones necesarias o condiciones suficientes .

• "Si P entonces Q " significa intuitivamente que P es suficiente para asegurar que Q se mantenga. En este sentido, P se llama condición suficiente para Q.

• A la inversa, " P sólo si Q " significa intuitivamente que Q es una condición previa para que P se cumpla; aunque P implica Q , P tampoco puede cumplirse sin Q. A este respecto, Q se llama condición necesaria para P .

Las nociones de "condición suficiente" y "condición necesaria" son complementarias entre sí; si una condición es suficiente para otra, entonces esa segunda condición es necesaria para la primera condición.

La tabla de verdad para P  ⊃  Q

Pensar en P  ⊃  Q en términos de restricciones nos permite explicar la tabla de verdad para condicionales:

 P  Q  |  P ⊃ Q
-------|--------
 F  F  |    T 
 F  T  |    T
 T  F  |    F
 T  T  |    T

Podemos describirlos simplemente en términos de las condiciones en las que se "permite" que P sea verdadera.

• Si P es falsa, sin importar cuál sea el valor de Q , entonces no hemos violado la restricción P  ⊃  Q , porque solo impone restricciones sobre cuándo P puede ser verdadera.
  
  Por ejemplo, supongamos que P es "lograste escalar el monte Everest" y Q es "intentas escalar el monte Everest". Debido a que escalar el monte Everest es lo suficientemente difícil como para suponer que tiene que ser una empresa deliberada, es razonable decir que solo puedes tener éxito en escalar el monte Everest si lo intentas: es decir, P solo si Q . Pero es posible fallar en escalar el Monte Everest de dos maneras diferentes:
  

  1. ya sea por no intentarlo, o
  2. intentando pero teniendo problemas (condiciones climáticas, un accidente grave, etc. ) que le impiden tener éxito.

  En el caso de que P sea falsa, decimos que P  ⊃  Q es vagamente verdadera ; es verdadera solo porque la restricción que impone a que P sea verdadera no se pone a prueba.

• En el caso de que P sea verdadera, la restricción P  ⊃  Q se pone a prueba, y esa restricción se satisface solo si Q es verdadera. Si P y Q son verdaderas, entonces se cumple la restricción y, por lo tanto, P  ⊃  Q es verdadera. Sin embargo, si P es verdadera y Q es falsa, entonces no puede ser que P sólo si Q ; se viola la restricción, por lo que P  ⊃  Q es falsa.

¿Es Q  ⊃  P equivalente a P  ⊃  Q , o te permite inferir P  ⊃  Q ?

La respuesta corta es que no son equivalentes , y ninguno te permite inferir al otro. Hay dos maneras fáciles de ver esto.

• P  ⊃  Q es una restricción sobre cuándo P puede ser verdadera, mientras que Q  ⊃  P es una restricción sobre cuándo Q puede ser verdadera. En general, estas no son restricciones comparables; ninguno te permite inferir el otro.

• Podemos hacer referencia a las tablas de verdad para cada uno, usando la tabla que ya calculamos para P  ⊃  Q para encontrar los valores para cada fila en Q  ⊃  P :

   P  Q  |  P ⊃ Q  |  Q ⊃ P
  -------|---------|---------
   F  F  |    T    |    T
   F  T  |    T    |    F
   T  F  |    F    |    T
   T  T  |    T    |    T
  

  Vemos que cuando solo uno de P o Q es verdadero, entonces uno de P  ⊃  Q o Q  ⊃  P es verdadero, pero no el otro. Como P  ⊃  Q y Q  ⊃  P no se satisfacen en las mismas condiciones, vemos que no son lógicamente equivalentes.

Podemos ver de lo anterior que tanto P  ⊃  Q como Q  ⊃  P son verdaderos, si P y Q son verdaderos o falsos, si P y Q son equivalentes. Esta es solo la observación de que P  ≡  Q (" P es equivalente a Q ") es lógicamente equivalente a ( P  ⊃  Q ) y ( Q  ⊃  P ) . Pero precisamente porque P  ⊃  Q y Q  ⊃  Pno son lógicamente equivalentes, P  ≡  Q es una declaración lógica más fuerte, una restricción más difícil de satisfacer , que cualquier condicional solo.

Note que debido a que P  ≡  Q es equivalente a ( P  ⊃  Q ) & ( Q  ⊃  P ) , es posible resumir P  ≡  Q diciendo que " P es una condición necesaria y suficiente para Q ", donde la 'necesidad' viene del condicional Q  ⊃  P , y la 'suficiencia' viene de P  ⊃  Q .

contrapositivos

El enunciado condicional P  ⊃  Q tiene otra forma condicional equivalente, conocida como contrapositiva : ¬ Q  ⊃ ¬ P . Esta es una forma de reformular las restricciones sobre cuándo P puede ser verdadera , como una restricción sobre cuándo Q puede ser falsa .

• " P sólo si Q " significa que si Q falla, entonces será mejor que P también falle; es decir, "si ¬ Q entonces ¬ P ".
• De manera similar, "ya sea ¬ P o Q " significa que si Q falla, entonces ¬ P debe mantenerse; de nuevo, "si ¬ Q entonces ¬ P ".

Podemos demostrar que ¬ Q  ⊃ ¬ P también implica P  ⊃  Q usando un argumento simétrico y doble negación (¬¬ P  ≡  P ). Y si calcula la tabla de verdad para ambas fórmulas, encontrará que tienen los mismos valores:

 P  Q  | ¬P  ¬Q  |  P ⊃ Q  |  ¬Q ⊃ ¬P
-------|---------|---------|---------
 F  F  |  T   T  |    T    |     T  
 F  T  |  T   F  |    T    |     T
 T  F  |  F   T  |    F    |     F
 T  T  |  F   F  |    T    |     T

Entonces podemos ver simplemente por cálculo que son proposiciones lógicamente equivalentes, o "restricciones".

¿ P  ⊃  Q significa que hay una relación de causa y efecto?

Algo que hace tropezar a mucha gente es pensar en declaraciones condicionales lógicas como si fueran relaciones de causa y efecto. Si bien la causa y el efecto es un tipo de enunciado condicional, no es el único; por lo tanto, debe tener cuidado de no asumir que una declaración lógica "si-entonces" está diciendo algo sobre causa y efecto.

Por ejemplo, es posible que le preocupen las declaraciones condicionales como

"Si como una manzana, moriré"

– lo que podría ser cierto para alguien severamente alérgico a las manzanas, pero también es cierto para absolutamente cualquier persona mortal. (Aunque personalmente no soy alérgico a las manzanas, espero morir algún día. Por lo tanto, es cierto que moriré ya sea que coma o no más manzanas; por lo tanto, si como una manzana, moriré). Podrías quejarte de que la condición P —si como una manzana— tiene poco que ver con la conclusión Q — moriré . Esto no parece mejorar mucho si lo presentamos como una restricción de la forma " P solo si Q " ( solo comeré una manzana si muero) — de nuevo, ¿qué tiene que ver morir con si podría comer una manzana? Lo que hace que la proposición se mantenga es que la formulación "o no como una manzana o me muero" es verdadera. De hecho, en la cadena de razonamiento que apliqué a mí mismo, afirmé la proposición Q ( moriré ) y luego razoné que el estado lógico de P (comerme una manzana) no tenía nada que ver con esa verdad. Mi llegada a la conclusión "si como una manzana, entonces moriré" es cierto en este sentido, pero algo perverso; omite el hecho de que si no como una manzana, entonces también moriré.

Podemos hacer comentarios similares para afirmaciones vacías de verdad, como

"Si yo fuera elegido Rey de Francia, haría llover helados todos los días".

Con nuestra comprensión actual del clima, o al menos el costo de la producción de helados y el combustible para aviones, parece poco probable que pueda hacer que llueva helado todos los días bajo cualquier circunstancia, independientemente de si soy o no el Rey de Francia. Si mi afirmación le parece descabellada, es porque no está evaluando P  ⊃  Q (donde P = "Soy elegido rey de Francia" y Q = "Haría llover helado todos los días"), sino solo Q por sí solo (no puede ver ninguna circunstancia razonable en la que pueda hacer que Q sea verdadero). Por supuesto, la condicional P  ⊃  Q es una afirmación más débil que Q : es posible queQ sea falso y P  ⊃  Q sea verdadero; es equivalente a "o no seré elegido Rey de Francia, o haré que llueva helado del cielo todos los días" (que ahora suena más como un ultimátum surrealista que como una promesa). Dado que Francia no tiene reyes en absoluto en la actualidad, y mucho menos reyes elegidos , esta restricción propuesta sobre la forma en que funciona el mundo probablemente se satisfará en virtud del hecho de que no seré elegido rey de Francia.

En ambos casos, la condición tuvo poco que ver con la consecuencia; Es poco probable que comer manzanas me haga morir, y es poco probable que convertirme en rey de Francia me dé poderes de dios de la lluvia de helados. Pero ambos condicionales son verdaderos, porque las restricciones que proponen para la naturaleza del mundo se satisfacen en ambos casos.

Cuando queremos pensar en condicionales P  ⊃  Q en términos de causa y efecto, generalmente queremos trabajar en modelos del mundo en los que es posible que P sea verdadero, y donde también es posible que Q sea falso . . La razón por la que los ejemplos anteriores pueden parecer extraños es exactamente porque en un caso Q es inevitable (no puedo evitar morir), y en el otro P no es razonable (no puedo ser elegido Rey de Francia), al menos no con los sistemas gubernamentales actuales y los niveles de tecnología médica.