ϵ,δϵ,δ\epsilon, \delta... ¿Y qué?

A lo largo de mis estudios, a menudo encuentro frases en material de referencia del tipo "y esto evita la necesidad de usar ϵ , d definiciones" o "por esto podemos omitir aquellas complicadas ϵ , d argumentos" , etc. En otras palabras, realizar acrobacias para moverse ϵ , d . He visto suficiente de esto para pensar que debería clasificarse como epsilondeltophobia , si todos ustedes lo permiten. Personalmente, me emocionó aprender definiciones en estos términos porque fue una de las primeras definiciones rigurosas que me dieron, todo en términos de lógica cuantificadora, y se usaba para cosas muy fundamentales cuyo verdadero significado siempre me pregunté. Al principio, por supuesto, no tenía ni idea de cómo usar el idioma, pero me encantó de todos modos porque era como, "wooow, deep maan". Sin mencionar que más tarde, comencé a ver que todas las construcciones de orden superior que se construyeron sobre ϵ , d -los objetos funcionaron a la perfección, dándome más satisfacción que a quien se le ocurrió ϵ , d lenguaje sabían lo que estaban haciendo. Así que no digo que no esté bien desarrollar una épsilondeltofobia , como todos lo hacemos naturalmente al principio... pero los libros de texto (algunos) parecen promover este miedo, incluso algunos maestros, y esto es lo que no me hace feliz. acerca de. Creo ϵ , d es genial.

Pregunta: ¿Quién piensa igual? opuestamente?

Editar: no quiero que esto se vea como una declaración pedante de "rigor o muerte", o como una sugerencia de que los primeros cursos de cálculo siempre deben incluir ϵ , d (aunque quizás sí en matemáticas). Simplemente estoy en contra de la predisposición a ello de forma negativa.

¿Ejemplos por favor? ¿Dónde has encontrado esto?
Bueno, no puedo recordar libros específicos, es solo una noción que he desarrollado al haber hojeado muchas cosas.
al menos da el contexto: ¿un libro de física? ¿Capítulos de cálculo sobre derivadas?
Estoy de acuerdo en que debe dar ejemplos. Si desea probar algo sobre los límites, debe usar ε , d (o ε , norte para secuencias)
Bueno, recuerdo que uno de estos estaba en un libro sobre optimización no lineal... y luego un montón de pdf en calc-1. No estoy diciendo eso ϵ , d siempre debe ser estándar en un primer curso de cálculo (aunque más adelante debería), simplemente no entiendo la predisposición negativa de eso
Para evitar la retención basada en la opinión, tal vez pueda centrar su pregunta en las ventajas, desventajas y posibles alternativas a ϵ , d "definiciones" en cursos introductorios (¿para una audiencia general?) de matemáticas.
@VladimirSotirov Si quieren esperar, déjenlos, me entristece. Hice la pregunta con intención y trabajé en ella para obtener precisamente el tipo de respuestas bien elaboradas y contraargumentos que han aparecido hasta ahora... cambiarla sería mentir, como si un niño dijera "lo siento" y simplemente lo dice, pero no lo siente.
Podría sugerir algunos de los blogs de Terry Tao sobre análisis no estándar y "gestión de épsilon" como ejemplos de esto, aunque difícilmente tiene "fobia" al análisis duro.
ε y d Las pruebas son como lenguajes ensambladores. Tan pronto como tenga un comando de nivel superior para un bucle, no debe programar un bucle en lenguaje ensamblador porque es difícil de hacer y de entender. Del mismo modo, usa la definición para probar las propiedades de los límites y las funciones continuas y luego usa estas propiedades en lugar de la definición. Esto no tiene nada que ver con la falta de rigor. Es posible dar demostraciones más o menos rigurosas con y sin minúsculas griegas.
@Phira Entiendo completamente lo que quieres decir sobre el lenguaje ensamblador, siempre mentalmente hago la misma analogía. Pero precisamente con el mismo espíritu es por lo que pienso ϵ , d es maravilloso, porque es una estructura de "bajo nivel" que funciona perfectamente para los objetos de "alto nivel" que querías crear más adelante, y esto generalmente es algo difícil de lograr, ya que quién sabe cómo cambia a bajo nivel afectan construcciones posteriores. También no quise decir eso ϵ , d debería ser la única forma de probar cosas, por supuesto que tiene sentido usar propiedades una vez que están probadas.
@GPerez Pero es más que eso. La cuestión clave es elegir las propiedades "correctas" para probar. Si más tarde necesitas ε y d de nuevo, esto es una señal de que te falta una propiedad general apropiada. Esto puede dar la impresión de fobia, pero es una heurística importante.
@Phira Por supuesto, de lo contrario todos estaríamos usando ϵ , d para calcular integrales, y nadie quiere eso. Supongo que lo que realmente quiero decir es: ϵ , d las pruebas son un gran ejercicio de demostración y lógica, sirven como introducción a tales cosas, y nadie se verá perjudicado por estar expuesto a ellas.

Respuestas (5)

Creo que el retroceso contra ϵ , d definiciones (que desafortunadamente se extiende al rechazo contra ϵ , d técnicas ) está enteramente justificado porque ϵ , d Las definiciones surgen de la (lamentablemente extendida) confusión entre una declaración formal y una declaración rigurosa .

Considere la "definición" formal de continuidad de una función F en un punto a :

∀ ϵ ∃ d ∀ X ( 0 < | X − a | < d → | F ( X ) − F ( a ) | < ϵ )
Esta es solo una forma ofuscada de afirmar lo informal, pero riguroso:

por cada pelota B F ( a ) centrado en F ( a ) , hay una pelota B a centrado en a de modo que F envía cada punto de B a en B F ( a ) .

que es lógicamente equivalente al conceptualmente más claro, aunque aún informal, aunque aún riguroso:

Siempre que la imagen F ( S ) de un conjunto S se separa de la imagen F ( a ) de un punto a , el conjunto S ya estaba separado del punto a .

que es el contrapositivo de la definición intuitiva , informal y rigurosa, de continuidad de F en un punto a :

Siempre que un conjunto S de los puntos están cerca de un punto a , el conjunto de imágenes F ( S ) de esos puntos están cerca del punto de la imagen F ( a ) .

Creo firmemente que la equivalencia de las declaraciones bloqueadas y la IDEA que expresa la equivalencia, que es que PODEMOS destilar una noción intuitiva en una definición rigurosa, es mucho más interesante, importante y memorable que la formal. ϵ , d "definición". Además, ni siquiera me atrevo a llamar definición a la "definición" formal, ya que lo que expresa no es una descripción de lo que significa que una función sea continua, sino una técnica (de ϵ , d pruebas) sobre cómo comprobar que una función es continua.

Esta, en mi opinión, es la razón del retroceso contra ϵ , d "definición" y argumentos: en vez de expresar la idea rigurosa o concepto de continuidad, la ϵ , d "definición" solo brinda una técnica para trabajar con continuidad y, cuando se presenta como una definición, solo ofusca el significado del concepto (de una manera muy eficiente, podría agregar, ya que el camino desde la definición intuitiva y significativa a la ϵ , d definición implica tomar un contrapositivo...).

Finalmente, creo que ser consciente de cómo traducir rigurosamente (como se indicó anteriormente) de la definición intuitiva de continuidad a la declaración de la ϵ , d La técnica ciertamente no hará daño, y sospecho que en realidad podría ayudar a los estudiantes a usar el ( ϵ , d ) técnica, especialmente con las funciones simples que surgen en Cálculo y análisis básico.

(Alguien podría criticar lo anterior diciendo que la noción de una pelota es confusa en el cálculo de una sola variable. Mi respuesta quizás controvertida es que realmente no hay ninguna buena razón para no enseñar cálculo usando 2 o 3 variables del día 1 y que el estrecho punto de vista que ofrece el cálculo de una sola variable oscurece más de lo que simplifica).

Está bien, sin embargo, me refiero a aceptar ϵ , d como definición no significa prohibición de desarrollar intuiciones sobre lo que significa. En lo personal siempre hice este diagrama (gracias geogebra) mentalmente cada vez que lo imaginaba. Como nota al margen, ¿qué es "lo que algo significa" sino la definición que hemos decidido para ello?
Las intuiciones, por tanto el significado, preceden a las definiciones. Así es como es la práctica matemática, y la elección de definiciones refleja la preferencia activa de uno por algunas intuiciones, o la aceptación complaciente (no examinada) de otras intuiciones...
Por supuesto que soy complaciente al aceptar estas intuiciones, resulta que estoy de acuerdo con ellas. Y tal vez tengamos concepciones a priori en nuestra mente, pero hasta que no definas lo que significa, no puedes "hacer cosas" con ellas.
Gracias Vladimir por tu respuesta. No podría estar más de acuerdo. ϵ , d son solo una notación abreviada para ahorrar esfuerzo de escritura en lugar de sus declaraciones equivalentes en inglés (o en cualquier idioma en el que se le esté enseñando al estudiante). Para mí límite X → a F ( X ) = L significa que los valores de F puede hacerse arbitrariamente cerca de L eligiendo valores de X suficientemente cerca de a (pero no igual a a ). Y no hay nada no riguroso en la última declaración. A mi ϵ , d es un signo de formalismo y no de rigor.
Un ejemplo de muestra de rigor y su traducción al formalismo está en esta respuesta: math.stackexchange.com/a/562738
No estoy seguro de que "riguroso" y "formal" sean exactamente las palabras correctas para usar (admito que la palabra "riguroso" en matemáticas se ha convertido en mi manía favorita; ya no estoy seguro de lo que significa) , pero Encuentro el sentimiento de esta respuesta en el punto muerto. Los libros de texto de cálculo abordan la ϵ - d definición enfatizando las manipulaciones algebraicas formales de las desigualdades, lo que parece especialmente cruel ya que cualquiera que enseñe cálculo sabe que los estudiantes no tienen la formación necesaria y son malos en esto. Así que el significado geométrico/topológico subyacente se pierde, a pesar de que podría ser más fácil de entender.

Resulta que los ingenieros, científicos y gente financiera necesitan usar cálculo, pero no necesitan entender cálculo.

La construcción de la educación universitaria típica alimenta a todos esos estudiantes, más los estudiantes de matemáticas, a través de los mismos cursos de introducción al cálculo. Esto se hace por rentabilidad, y también por un ideal potencialmente fuera de lugar de que los matemáticos de carrera deberían enseñar matemáticas a personas para quienes las matemáticas son, en última instancia, solo un medio molesto para un fin.

tan elidiendo ϵ − d arguments agiliza este proceso, ahorrando problemas a los estudiantes e instructores, a expensas de los estudiantes de matemáticas. Pero esos estudiantes de matemáticas lo encontrarán más tarde, de todos modos.

No digo que sea el mejor enfoque, pero quizás sea un poco más eficiente. Los ingenieros mecánicos no quieren aprender ϵ − d , y los profesores de matemáticas no quieren enseñar ϵ − d a los estudiantes que nunca truncarán una serie de Taylor más allá del término lineal.

Como les digo a mis alumnos: "Si no lo entiendes, no puedes usarlo".
Como es el estado de las cosas, las matemáticas son, de hecho, un medio molesto para un fin para muchas personas. Espero que esté de acuerdo en que esto no es deseable. Ahora bien, no estoy diciendo que algún día viviremos en un mundo mágico donde todos, de todas las disciplinas, también aman las matemáticas, pero si al menos podemos avanzar hacia una educación donde las abstracciones y la definición formal ocasional no sean rechazadas o temidas por los alumnos, eso estaría bien. Quiero decir, sin estos, puedes terminar discutiendo sobre términos que nunca se definieron y nadie sabe realmente de qué están hablando y todo es un gran lío.
@GPerez No sé. En principio, valorar la abstracción nos resulta atractivo a los matemáticos. Pero si fuera peluquero, querría que la gente valorara el arte y la ciencia del cuidado del cabello. En última instancia, solo quiero un corte de pelo, por lo que le pago a un profesional que entiende esas cosas para que lo haga por mí. Aprecio lo que hacen, pero nunca lo apreciaré lo suficiente como para estudiarlo. Así que también se aplica a las matemáticas.
No es solo un "ideal fuera de lugar", sino también una necesidad práctica. Debido a que los departamentos de matemáticas enseñan cálculo, y debido a que muchos estudiantes (en algunas escuelas, la mayoría o incluso todos) deben tomar cálculo, el departamento de matemáticas se vuelve muy importante. Si el cálculo para ingenieros se subcontratara a los ingenieros, los departamentos de matemáticas probablemente tendrían la misma estatura que los departamentos de filosofía.
@Ryan Reich, ¿a qué te refieres con estatura? También tenga en cuenta que la universidad funciona de manera diferente en todo el mundo.
@GPerez Me refiero a la importancia para la administración.
@Arkamis Probablemente tengas razón, pero quise decir más en los campos de la física, la ingeniería, la biología, etc. Sin duda, la abstracción es fundamental para cualquier ciencia. ¡Pero espera! ¡Es importante en la literatura, por ejemplo, también! Uno hace resúmenes para analizar lo que un libro o una historia está tratando de transmitir. En música, ni siquiera puedo comenzar a enumerar las formas en que la abstracción de múltiples canciones aparentemente diferentes al concepto de una canción, visto como progresiones de acordes, escalas que acompañan a cada acorde o tecla, cosas llamadas "modos", etc. No creo que muchos puedan salvarse del uso de definiciones abstractas.
Creo que es importante recordar que, históricamente, la ϵ − d La definición llegó más de cien años después del desarrollo inicial del cálculo. Uno podría adivinar de esto que la definición no es completamente obvia, aunque lo parece después del hecho. También parece ser una evidencia de que es posible usar el cálculo con fines prácticos sin una base completamente rigurosa según los estándares de los matemáticos modernos.
@JairTaylor, puedes tener una base completamente rigurosa e infinitesimales.
@ user72694, eso es cierto, he oído que puedes, aunque nunca lo he estudiado yo mismo. Pero creo que la teoría actual de los infinitesimales en el análisis no estándar es bastante diferente del pensamiento no riguroso original de Newton, Leibniz y compañía.
@JairTaylor, los hiperreales son bastante diferentes de los diversos enfoques de Newton, pero existen similitudes importantes con el enfoque de Leibniz; ver este artículo Si el pensamiento de Leibniz fue o no "no riguroso" depende de lo que quieras decir exactamente con eso; si quiere decir que Leibniz no usó la teoría de conjuntos cantoriana, entonces ciertamente tiene razón. Si quiere decir que los procedimientos de Leibniz son muy diferentes de los procedimientos hiperreales, encontrará información en contrario en el artículo. Si quiere decir que el enfoque de Leibniz contenía...
... contradicciones lógicas, entonces podría decirse que este es un error persistente de la historiografía del cálculo; véase el artículo citado anteriormente.
Muy interesante, gracias por la información! Supongo que tenía la impresión de que gran parte de la confusión de la época procedía de no mantener una distinción clara entre definiciones y teoremas, por ejemplo, debates sobre si los números imaginarios y los infinitesimales "realmente existían" o no, lo que lleva a muchas discusiones no rigurosas. razonamiento según los estándares modernos. Pero no he investigado mucho las opiniones de Leibniz, así que tal vez me equivoque.
"Resulta que los ingenieros, científicos y gente financiera necesitan usar cálculo, pero no necesitan entender cálculo". Wow, qué declaración tan clara de lo que parece implícitamente ser la posición dominante en la pedagogía contemporánea del cálculo de primer año... y que encuentro alarmante y pernicioso al borde de lo repugnante. Me gustaría que los profesores universitarios de matemáticas pudiéramos tener una discusión explícita para ver si realmente creemos esto y entendemos completamente sus implicaciones.
Dos salvas de apertura: (i) Tanto la exposición del mundo real a los jóvenes como mucha investigación confirman la hipótesis de que casi todos comienzan su estudio de (p. ej.) matemáticas queriendo entenderlo todo. La tragedia de la educación matemática es que eliminamos este deseo del 99% de los estudiantes de manera tan sistemática y exhaustiva que, cuando llegan a cálculo, tienen un nivel de identificación del síndrome de Estocolmo con sus torturadores. (ii) En la sociedad contemporánea, el nombre de lo que hace cálculos sin comprensión conceptual es "computadora", no "ingeniero".
@PeteL.Clark Efectivamente. Creo que es triste (en el mejor de los casos) y peligroso (en el peor), pero me cuesta mucho convencerme de que no es cierto. Como ingeniero de carrera, la mayoría de mis contemporáneos pueden hacer cálculos, pero no pueden hacer pruebas épsilon-delta. Y honestamente, no necesitan hacerlo. La ingeniería es más que computación. La ingeniería tiene que ver con el juicio, el diseño y la toma de decisiones. Agregar rigor técnico no necesariamente mejora directamente esas cosas. Prefiero que el ingeniero químico que diseña mi champú tenga una buena comprensión de los riesgos y la mezcla y seguridad adecuadas.
Dicho esto, los ingenieros también reconocen esta deficiencia, y las buenas empresas contratan matemáticos (así es como terminé con el título de 'Ingeniero'). Sin embargo, hay muchos ingenieros matemáticamente deficientes que absolutamente no deberían serlo; Recientemente, tuve que explicarle la integral de Riemann-Stieltjes a alguien que decía ser un experto en teoría de juegos. Eso es un poco triste.
@Arkamis: Realmente no está claro cuánto tratamiento de épsilon-delta se necesita para "comprender el cálculo", por lo que es un poco peligroso usar el primero como sinécdoque para el segundo. (En particular, usted dice que los ingenieros no necesitan hacer ϵ - d pruebas: sí, estoy de acuerdo.) Cuando enseño cálculo, el deseo de al menos intentar presentar el material de una manera intelectualmente coherente me lleva a presentar una cantidad positiva, pero muy pequeña (!!), de ϵ - d ... y lo hago de una manera diferente y más geométrica de lo que los libros de texto de cálculo parecen pensar que es necesario para el "rigor".
Permítanme decir también, si puedo decir algo sin querer respaldarlo con estos comentarios, que a menudo me ha impresionado menos que favorablemente la cantidad de "comprensión del cálculo" demostrada por la forma en que se escriben los libros de texto de cálculo. Muchas veces lo que los libros de texto de matemáticas de este nivel llaman "rigor" estaría tentado de llamarlo "pedantería provocada por una comprensión frágil y limitada".
@PeteL.Clark Estoy 100% de acuerdo con todo eso. Epsilon-delta es solo una parte de la comprensión, y no la imagen completa. Sin embargo, creo que se horrorizaría si buscara a algunos estudiantes de ingeniería, les pidiera que calcularan la derivada de una función y luego les pidiera que explicaran la definición de derivada.
Me parece que para el ingeniero es especialmente importante poder estimar el resultado que necesita y saber cómo calcular dentro del grado deseado de precisión. La respuesta "exacta" rara vez está disponible, y para que una aproximación valga algo, debe controlarse (la precisión dentro de 1 kilogramo es muy diferente de la precisión dentro de un gramo). El análisis delta de Epsilon es simplemente aprender a hacer un análisis de errores riguroso. Ojalá se enseñara así...
Arkamis: No será necesario "rastrear": he enseñado y actualmente estoy enseñando a estudiantes de ingeniería (y, por lo tanto, no puedo estar en desacuerdo con su evaluación, desafortunadamente). @Steven: ¡sí, estoy totalmente de acuerdo! Me tomó un tiempo darme cuenta de que de eso se trata realmente el análisis aplicado: estimaciones controladas en lugar de respuestas exactas. El semestre pasado, cuando enseñé cálculo, pasé varias conferencias sobre integración numérica, un tema que me había saltado por completo en el pasado.
Desafortunadamente, los estudiantes no están bien entrenados en la estimación de ningún tipo. Recuerdo bien el semestre pasado cuando decidí retirarme estratégicamente de hacerles preguntas de examen sobre el teorema de Taylor con resto (demasiado difícil; estaría probando grados de memorización en lugar de cualquier comprensión real) a favor de la estimación de error de serie alterna, lo cual es tan simple técnicamente que no hay más que entender la idea básica requerida. Aún así, era un tema desafiante...
@PeteL.Clark Esta discusión definitivamente destaca la necesidad de diálogo sobre el papel de la educación matemática en todos los niveles. Pero siento que muchos matemáticos a menudo quedan atrapados en las matemáticas cuando surgen estas discusiones, como si sintieran la necesidad de justificar su existencia al hacer cumplir la enseñanza de conceptos que consideran importantes. Sigo manteniendo que un ingeniero o un analista financiero no necesita entender cálculo en la medida en que lo hace un matemático. No obstante, tiene mucho valor entrenar a estos estudiantes en la práctica del pensamiento matemático.
Y eso es cierto en todos los niveles. Concéntrese en lo que significan las cosas , en lugar de cómo hacerlas . Un buen sustituto de una medida de éxito para un plan de estudios matemático sería eliminar la pregunta que todos los matemáticos finalmente reciben: "¿entonces qué es lo que haces ? "
"Todavía sostengo que un ingeniero o un analista financiero no necesita entender el cálculo en la medida en que lo hace un matemático". Bueno, seguro. Difícilmente podría convertirse en matemático sin tomar 5-10 adicionales para profundizar su comprensión de varios aspectos del cálculo. Creo que el cálculo de primer año no debería contener los aspectos de abstracción o atención a las ideas fundamentales que ocurren incluso en cursos posteriores de pregrado. Pero alguna idea de que la continuidad significa que el error en la salida puede controlarse arbitrariamente bien restringiendo la entrada parece importante.
@PeteL.Clark Por supuesto. ¿Pero cuál es la solución? Los libros de texto apestan. Los planes de estudios en un programa típico de 4 años están tan compactos que no permiten ninguna libertad para dedicar tiempo al material de aprendizaje más allá de lo estrictamente necesario. A los estudiantes no les importa (y tampoco a los empleadores, peor aún, en muchos casos tampoco a las escuelas de posgrado). ¿Qué hacer?
@Arkamis: Bueno, el primer paso es identificar y ponerse de acuerdo sobre el problema. Y luego... ¿puedo volver a llamarte?
@PeteL.Clark "Cuando enseño cálculo, el deseo de al menos intentar presentar el material de una manera intelectualmente coherente..." Esto resume lo que creo, que presentar matemáticas sin coherencia, por ejemplo, cosas deducidas de otros, pruebas, es lo que finalmente conduce a la alienación de las matemáticas mismas. Cuando alguien es capaz de preguntar "¿es 1 a + b = 1 a + 1 b ?", claramente no han aprendido lo que significa ninguna de esas operaciones, de lo contrario la respuesta sería obvia. Ese fue un ejemplo horrible, ya que sucede en un nivel temprano, donde uno está aprendiendo matemáticas por primera vez, pero...
... Espero que sepas de lo que estoy hablando. Podríamos argumentar, como algunos lo han hecho, que (insert_profession) no necesita usar una comprensión de las matemáticas. Bueno, depende de lo que entendamos por "uso"; Un amigo mío enseña biología en una maestría (donde se supone que los estudiantes están en un nivel de madurez conceptual) y me dice que le resulta imposible hacer que sus estudiantes entiendan la "jerarquía epistemológica" de las ideas, es decir, qué conceptos son deducido de otros, en qué orden van las implicaciones, etc. Dice que, más bien, el material se toma como...
... "pedazos sueltos de información", y por lo tanto los estudiantes vienen con preguntas equivalentes (en biología) como el ejemplo de dos comentarios anteriores. Estos estudiantes podrían o podrían ciertamente haber usado una educación en matemáticas como la que se presenta a una multitud de matemáticos puros. En otras palabras, lo que dice es " aprende a razonar, niño". Así que no estoy seguro si (insert_profession) no tiene que usar una comprensión de las matemáticas.

Creo que es un tema complejo; tenemos tanto aspectos pedagógicos como "fundamentales".

En primer lugar, según mi punto de vista, y suponiendo que no estoy preparado para discutir el lado pedagógico, creo que no podemos evitar en la enseñanza de las matemáticas (y no sólo) una cierta cantidad de "dogmatismo". El fracaso pasado en los esfuerzos por introducir el lenguaje ingenuo de antemano en la aritmética elemental fue significativo.

Pruebe por un momento con este "experimento conceptual": la enseñanza en la escuela secundaria de álgebra y cálculo a partir de axiomatizados Z F y construir todo el material matemático "desde cero" (el conjunto vacío). ¿Realmente lo creemos factible?

Un libro reciente de John Stilwell , The Real Numbers An Introduction to Set Theory and Analysis (2013), comienza con la siguiente consideración:

cualquier libro que revisita los fundamentos del análisis tiene que contar con el formidable precedente de Grundlagen der Analysis (Fundamentos del análisis) de Edmund Landau de 1930. [...] tan pocos libros desde 1930 han intentado siquiera incluir la construcción de los números reales en una introducción al análisis. Por un lado, el relato de Landau es virtualmente la última palabra en rigor. [...] Por otro lado, el libro de Landau es casi patológicamente hostil al lector.

He intentado releer a Landau: ¡es muy "antipático"!

Segundo: por favor, no olvide la enorme cantidad de esfuerzo que toma, desde Newton y Leibniz hasta (al menos) Cauchy (vea el maravilloso libro de Judith Grabiner, The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus - 1981) para "destilar" el riguroso ( ϵ − d ) ¡definición! Y también están evolucionando los estándares matemáticos de "rigor".

Hablé anteriormente sobre el "dogmatismo" (sugerencia: piense cómo aplicar las consideraciones de Thomas Khun en SSR sobre el papel "positivo" del dogmatismo en la "ciencia normal" a las matemáticas).

Mi opinión personal es que el mejor antídoto contra el (inevitable) uso del dogmatismo en la enseñanza es la perspectiva histórica: aprender cómo llegamos a las ideas actuales (incluido nuestro estándar actual de rigor y nuestras ideas actuales sobre los "fundamentos") puede ser muy útil.

En cuanto al "experimento conceptual", creo que sería muy positivo que la definición de un espacio vectorial sobre un campo se introdujera de alguna manera en la escuela secundaria y pruebas elementales como λ v = 0 ⇔ λ = 0  o  v = 0 , porque es relativamente simple, pero riguroso al mismo tiempo. No sé... Simplemente me gusta el concepto de no hablar de algo hasta que definas de qué estás hablando. Lógicamente hay que encontrar un equilibrio, de lo contrario todos estaríamos leyendo Lanadu antes de aprender a contar.
También, sobre la perspectiva histórica, sí sí y sí. Porque siempre obtenemos el formato: axiomas → definiciones → teoremas, como si sucediera así cronológicamente, mientras que el diagrama real es probablemente el más complejo de los gráficos dirigidos, si se simplificara.

( ϵ , d ) Las técnicas son fundamentales para desarrollar los fundamentos del análisis real, pero a veces se puede obtener información a través de técnicas alternativas que uno no ve tan fácilmente a través de ( ϵ , d ) . Considere, por ejemplo, el hecho de que la función de elevar al cuadrado no sea uniformemente continua. Este es un ejercicio bastante tedioso para motivar si estás limitado a ( ϵ , d ) tecnicas Posiblemente, el 90% de los estudiantes universitarios no podrán reproducir dicho ejercicio más que de forma pasiva.

Una posibilidad alternativa sería señalar que F ( X ) = X 2 no puede ser microcontinuo en un solo punto infinito H y por lo tanto no es uniformemente continua. En este enfoque, la continuidad uniforme se define al requerir F ser microcontinuo en todos los puntos (estándar y no estándar) de su dominio hiperreal extendido. Así, si se considera un infinitesimal α = 1 H , entonces F ( H + α ) = H 2 + 2 + α 2 y F ( H + α ) − F ( H ) = 2 + α 2 que no es infinitesimal. Así vemos que F no es microcontinua en H .

Esta definición deja claro que la continuidad uniforme en este caso tiene que ver con el comportamiento de la función "en el infinito". Esta observación puede formalizarse en el contexto de un continuo infinitesimal enriquecido, pero no puede formalizarse en el contexto del continuo real.

Por lo tanto, la ( ϵ , d ) enfoque tiene sus ventajas pero también tiene serias deficiencias pedagógicas.

1) Sí, la continuidad uniforme es un asesino. Pero, las caracterizaciones existen y ayudan. 2) En cuanto a la pedagogía, no estoy de acuerdo. Salvar a la gente de la abstracción no les ayuda. Además, cuando alguien finalmente lo entiende, el 100% de las veces se siente muy bien consigo mismo. Esto es bueno. Queremos que las personas se sientan bien con las cosas que están aprendiendo. Por supuesto uno pregunta: ¿y si no lo consiguen? Lo harán, eventualmente. El único problema es que no hacerlo a tiempo tiene consecuencias nefastas, por lo que nos preguntamos cómo se configura todo el modelo de evaluación y calificación, pero esta es una discusión diferente.
@GPerez, en cuanto a 1): formulé con precisión tal "caracterización", como usted dice, y ayuda. en cuanto a 2): no estoy seguro de lo que quiere decir con "resumir". Si te refieres al rigor matemático, entonces los hiperreales son tan rigurosos como los reales. Las únicas "consecuencias terribles" que veo aquí son para las personas que se niegan a considerar alternativas.
No dudo que los hiperreales sean válidos, o abstractos. De hecho, son más abstractos que los números reales. Pero todo depende, ¿quieres dar una educación matemática donde todo esté construido y construido, y demostrando pasos en el camino? En este caso, en algún momento tendrías que incluir una prueba de que los hiperreales son consistentes si y solo si los reales lo son. No sé si es complicado o no para los estudiantes, si no lo fuera, no tendría ninguna queja sobre su uso en la educación matemática. Si la educación se va a dar sin pruebas bien, está bien.
Tomando el argumento del análisis no estándar y eliminando algunas palabras y conceptos, se obtiene un argumento estándar más simple que prueba lo mismo de la misma manera. Todo el trabajo consiste en determinar a qué escala de cambio H produce un cambio apreciable en H 2 . No hay nada sobre la NSA que hubiera indicado elegir α = 1 / H como el infinitesimal, y la prueba no funciona con arbitraria α . La comprensión de qué opciones funcionan proviene de la derivada, no de los fundamentos, aunque, por supuesto, una vez que tiene un argumento que funciona, puede escribirse en cualquier idioma.
@GPerez, si está hablando de enseñar cálculo, estará de acuerdo conmigo en que no todo "está construido y construido". Es decir, los cursos de cálculo generalmente no construyen los números reales a partir de los racionales, ya que este material es más apropiado para cursos de análisis posteriores. En cuanto a la prueba de que los hiperreales son consistentes si y solo si los reales lo son, puedo darte una breve prueba usando nada más que el material de un curso serio de álgebra de pregrado.
@zyx, aprecio el tono tranquilo de tu comentario. Ciertamente se puede discutir qué argumento es más simple, el basado en los reales o el basado en los hiperreales. Comenzaría con la definición de continuidad de Cauchy: una función es continua en X si cada incremento infinitesimal α siempre produce un cambio infinitesimal F ( X + α ) − F ( X ) . Véase Cours d'Analyse .
@ user72694 Tal vez no, pero al menos axiomáticamente lo son. Las primeras cosas que aprendí fueron cosas como "por cada par de números reales diferentes a , b , cualquiera a < b o a > b , y otras propiedades similares. Poco después del curso, el tema fue las sucesiones, y se me mostró que cauchy ⇒ convergencia. Tal vez esto sea radicalmente diferente en otras escuelas, pero ¿estarías de acuerdo en que es un buen enfoque?
@GPerez, en primer lugar, es un enfoque muy agradable. Pero en los hiperreales es igualmente cierto que ""para cada par de números reales diferentes a , b , cualquiera a < b o a > b , y otras propiedades similares ", por el principio de transferencia . Además, los hiperreales pueden, y han sido, desarrollados axiomáticamente de manera similar.
@ user72694 Entonces este asunto se convierte en una opinión, por mi parte prefiero los reales :) Sin embargo, no podría decir por qué, ¿tal vez una sensación de nostalgia por las matemáticas formales del siglo XIX? no lo sé realmente
@GPerez, también me emociona el rigor formal del siglo XIX. Pero difícilmente puede decirse que se trata de una cuestión de opinión, ya que, contrariamente a la percepción popular, el marco hiperreal no se entiende como un reemplazo del marco real, sino más bien como una extensión del mismo. Por lo tanto, todas las técnicas "reales" todavía se aplican (por el principio de transferencia), pero también se tienen nuevas técnicas como la posibilidad de definir la continuidad como "infinitesimal". d X produce infinitesimal d y ", que no están disponibles en el marco real. Ver también...
... Los escritos de Terry Tao sobre las ventajas expresivas del marco hiperreal.
"Considere, por ejemplo, el hecho de que la función de elevar al cuadrado no sea uniformemente continua. Este es un ejercicio bastante tedioso si está limitado a ( ϵ , d ) No estoy de acuerdo con esto. El concepto de continuidad uniforme es uno de los más difíciles que se presentan en los cursos de pregrado. Pero si entiendes el concepto, este cálculo difícilmente podría ser más sencillo: ( X + d ) 2 − X 2 = 2 X d + d 2 no puede ser delimitado independientemente de X debido a la X d término. El material de la NSA es bueno, ¡pero quiero que los estudiantes puedan hacer este análisis "estándar"!
@Pete, en mi experiencia enseñando cálculo, las negaciones de las afirmaciones estándar suelen ser más difíciles de tratar que las propias afirmaciones. Una vez tuve un TA en una gran universidad del medio oeste que me admitió que no sabía cómo demostrar usando épsilon, delta que la función de Heaviside es discontinua. Aparte de esto, el problema con la definición epsilon, delta de continuidad uniforme es que no da ninguna idea del hecho de que el problema es el comportamiento en el infinito . Ve a tratar de leer eso del fenómeno sutil con orden cuantificador que lo distingue de
...continuidad regular! Entonces empiezas a darte cuenta de la pesadilla del estudiante.
Mikhail: Dijiste que era un ejercicio bastante tedioso . Mi comentario señaló que este no es el caso: el cálculo es uno de los más fáciles posibles, y ciertamente no más o menos oneroso que ( H + 1 H ) 2 − H 2 = 2 + 1 H 2 . También dices que 90 % de los estudiantes universitarios no podrán hacer este ejercicio. Eso no nace en mi experiencia. Creo que en realidad quiere decir que ese porcentaje de estudiantes "realmente no entiende la continuidad uniforme", lo cual es más plausible aunque más nebuloso.
Mi punto es: desea promover un enfoque de la NSA para el cálculo y el análisis. Tiene muchos buenos puntos matemáticos, pedagógicos e históricos que hacer en apoyo de esto. Pero cuando recurres a argumentos tipo testaferro, mira qué complicado ϵ - d los argumentos son! nadie los entiende, ¿verdad? -- probablemente esté perjudicando su caso, ya que la mayoría de sus lectores entienden ϵ - d argumentos, en la mayoría de los casos (y naturalmente) mejores que las cosas menos estándar que está promocionando. Así que hay que tener cuidado de no exagerar las dificultades, creo.
@Pete, tal vez debería haber escrito que es un "ejercicio tedioso para motivar", ya que los puntos relevantes se están moviendo hacia el infinito. Obviamente, no estamos hablando simplemente de la verificación formal de que se satisface una fórmula cuantificadora adecuada. El punto es la interpretación de esa fórmula y desarrollar intuiciones adecuadas para entenderla. Esto es con lo que los estudiantes están teniendo dificultades.
@Pete, probablemente tenga razón en que la mayoría de los editores de SE se sienten cómodos con epsilon, delta, pero no se les debe perder el punto de que la gran mayoría de sus estudiantes no lo están, y nunca lo estarán si las tendencias actuales continúan. Esta es una clara conclusión de todos los estudios educativos sobre este fenómeno. Si epsilon, delta no fuera la debacle educativa que es, la pedagogía sería un argumento menos efectivo a favor del enfoque hiperreal, aunque todavía existe el argumento de Terry Tao a favor de su lenguaje más expresivo y su utilidad en la investigación.
"Obviamente no estamos hablando simplemente de la verificación formal..." Eso no era obvio para mí; tal vez sea obvio para otros. En términos de moverse hacia el infinito: la continuidad uniforme generalmente aparece primero en el contexto de que una función continua en un intervalo cerrado y acotado es necesariamente uniformemente continua, y el ejercicio anterior se usa principalmente para explicar que estas hipótesis son necesarias. Nuevamente, no encuentro que la historia estándar sea una pesadilla para enseñar o motivar. Lo menciono porque parece esperar que sus lectores piensen lo mismo.
Por cierto, me gusta mucho el enfoque de Terry Tao: explica claramente tanto el análisis estándar como el no estándar, es especialmente claro acerca de las relaciones entre ellos y da ejemplos de qué tipo de problema se puede preferir a uno u otro. Lo confirma en su investigación, por lo que está claro que SA y NSA son muy útiles para él. Nunca lo he visto decir que los hiperreales tienen "más lenguaje expresivo y utilidad en la investigación": su posición es mucho más matizada que eso.
@Pete, gracias por tu comentario. Sería interesante desarrollar una "pregunta" adecuada sobre la situación en el terreno con respecto a la enseñanza de épsilon delta basada en estudios de campo de educación en lugar de evidencia anecdótica. "Pesadilla" es una palabra fuerte, pero en mi experiencia, los estudiantes se sienten frustrados por este tipo de cosas. Parece que U Georgia aplica altos estándares de admisión :-)
@Pete, cuando hablé de Tao sobre el poder expresivo, estaba pensando en el tipo de comentario que se cita aquí . Tal vez pueda proporcionar citas adicionales. No usa la raíz "expresar", pero la implicación está claramente ahí.

Definitivamente hay algo en los comentarios de @Arkamis (si es que son algo más relevantes para el sistema estadounidense), pero también hay algo que decir a favor de lo contrario.

ϵ − d el lenguaje tiende a ser demasiado técnico; es lo suficientemente simple para expresarlo a los estudiantes de primer año y lo suficientemente preciso para practicar matemáticas rigurosas, pero todos estos tecnicismos también pueden oscurecer el punto (al estilo de la famosa analogía de los árboles y el bosque). Los conceptos de conjuntos abiertos y preimágenes bajo funciones pueden ser algo más poderosos y/o apuntar al quid de la proposición que uno considera, mientras que tener que lidiar con demasiados cuantificadores puede ser engorroso.

Entonces, cuando vea libros de texto de matemáticas adecuados que usan construcciones aparentemente complejas para evitar hablar en ϵ − d lenguaje, planteo que la mayoría de las veces eso se hace en nombre de la abstracción, para mejor frasear conceptos subyacentes, o mejor tratar nociones nuevas y más generales que el autor quiere presentar.

Tuve que regresar aquí cuando me encontré con esto , un ejemplo en el que OP hizo un gran trabajo al resolver un problema con ϵ − d técnicas, pero aún parecía sentirse incómodo con los resultados. Por mi dinero, eso es exactamente porque este lenguaje oculta el quid del problema, la razón por la que las cosas funcionan como lo hacen. Habiendo completado el ejercicio, creo que OP aún no habría fijado la propiedad subyacente que está presente en los casos en los que la respuesta es 'sí' y ausente donde es 'no'.

Oh no, de ninguna manera estoy criticando la generalización de estos conceptos, ya que se vuelve imprescindible cuando ya no hay una función métrica.
ϵ,δϵ,δ\epsilon, \delta... ¿Y qué?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v