Definición de 4 vectores

Supongamos que tienes$4$Cantidades fisicas$U_0$,$U_1$,$U_2$, y$U_3$. Dado un sistema físico bien definido$S$, estas cantidades están bien definidas. Si luego realiza una transformada de Lorentz, el sistema se considera desde el punto de vista de otro observador. Interpretado de esta manera, llamamos a esto una transformación pasiva. Pero también puede atribuir el cambio debido a la transformada de Lorentz a un cambio en el sistema. A esto lo llamamos una transformada activa. Las dos interpretaciones son equivalentes, porque lo que ve el otro observador en el caso pasivo va a ser evaluado por ese observador de la misma manera que lo habría evaluado el observador original, si hubiera visto lo mismo.

Entonces, desde la$U_j$son funciones bien definidas del sistema, cualquier cambio en el sistema inducido por la transformada de Lorentz interpretada de forma activa, define como las funciones$U_j$cambiará. la forma en que$U_j$cambiará está bien definida, no hay una suposición a priori de que estas cantidades se transformarán como un vector de 4. Podríamos, por ejemplo, haber elegido$4$cantidades que cada una se transforma como escalar.

La demostración del teorema del cociente que establece que si$V^{\mu}U_{\mu}$se transforma como un escalar para cualquier vector arbitrario de cuatro$V^{\mu}$implica escribir solo ese hecho:

Y luego inserta la regla de transformación de Lorentz para la transformación de$V^{\mu}$:

Entonces, dado que esto debe ser válido para cualquier arbitraria$4$-vector$V^{\mu}$, podemos considerar esto para el caso particular donde$V^{\mu}$es el vector unitario que apunta en alguna forma arbitraria$\rho$-dirección, es decir$V^{\mu} = \delta^{\mu}_{\hphantom{\rho}\rho}$:

Simplificando ambos lados, se obtiene:

Esta es entonces la transformada inversa, la transformada de$U_{\mu}$a$U'_{\mu}$es dado por:

¿No podría simplemente abofetear$Λ$en cualquier cosa y decir "oh, míralo transformado"?

Podría, pero eso no es lo que está haciendo esa declaración. Usando el ejemplo que escogiste,$A^\mu$no es solo un grupo de números reales, es una combinación muy específica$(\phi,\vec A)$de conceptos preexistentes, a saber, los potenciales electrostáticos escalares y vectoriales.

cuando dices eso$A^\mu$se transforma como un vector, está haciendo una declaración no trivial sobre los potenciales escalares y vectoriales que un observador en movimiento requerirá para explicar una configuración de campo dada, y está haciendo la afirmación afirmativa de que el potencial escalar adquirirá términos de la forma$\gamma\vec v \cdot \vec A$y viceversa, de la misma manera que lo hace un cuatro posiciones.

Por supuesto, eso debe probarse por separado, y los detalles de la prueba dependen de la definición que haya elegido$A^\mu$, pero si el objeto en sí tiene un significado no trivial, su transformación también lo tendrá.

Los vectores son elementos de espacios lineales. Y todo espacio lineal tiene una base. Un vector de 4 simplemente significa un vector en un espacio de 4 dimensiones. La expresion

es un cambio de base.

Para completar, permítanme desarrollar este último punto. Fija dos bases en este espacio vectorial de 4 dimensiones,$e_{\mu}$y$\tilde{e}_{\alpha}$. Esto significa que todo vector$A$Se puede escribir como

Los números reales (o complejos)$A^{\mu}$y$\tilde{A}^{\alpha}$se llaman representaciones coordinadas de$A$. Representan el mismo objeto .$A$, cada uno escrito en una base diferente.

Ahora puede considerar un cambio de base, que es una transformación lineal en este espacio vectorial que toma la base$\tilde{e}$a la base$e$:

por lo que se cumple la siguiente igualdad

Insinuando

Comentar _ Creo que una buena referencia para esto podría ser el libro de Schutz sobre relatividad general, capítulo 2.

Entonces, sé que ya aceptó una respuesta, pero en mi opinión, esto es muy importante y no se discute lo suficiente con nuestros estudiantes universitarios:

La noción de "es un tensor" tal como la usamos en física es generalmente sintáctica , no semántica.

Eso significa que no es un objeto físico que es un cuatro vector o no es un cuatro vector, sino que es una ecuación vectorial que es covariante o no covariante, y la forma más fácil de escribirlo en forma covariante es si todas las entidades constituyentes "son tensores".

Esto es lo que quiero decir con más detalle: técnicamente tienes un espacio geométrico, y los habitantes de ese espacio son el verdadero, semántico,$[m, n]$-tensores. Hay un conjunto de "escalares" ¹ y superiores que se definen como sus "vectores" ² y superiores que puede definir sistemas de coordenadas ³ y covectores y$[m,n]$-tensores en general ⁴ . Ahí es donde viven los tensores "reales".

Pero cuando digo "esto es un tensor" en física lo que quiero decir es que esta expresión singulariza uno y exactamente un tensor en el espacio geométrico . Si lo hace, entonces esa cantidad física "es un tensor", y si no lo hace, entonces no lo es.

Por eso podemos decir que "un vector es cualquier cosa que se transforma como un vector". Queremos decir "si cambias de coordenadas$C$a coordenadas$C'$en el espacio geométrico, sabemos cómo se mezclan las componentes de sus vectores. Si una variedad de números medibles se mezclan de la misma manera, entonces puede asociarse exactamente con uno de estos tensores y, en ese sentido, la variedad "es un tensor".

Entonces, el ejemplo más fácil, aunque puede llegar a un curso que aún no ha tenido, es un símbolo de Christoffel. Un símbolo de Christoffel es una parte de la geometría diferencial que nos ayuda a tomar derivadas en espacios curvos. Un símbolo como$\Gamma^a_{bc}$ciertamente parece un tensor [1, 2]. ¡Tiene componentes numéricos como uno! ¿Por qué es famoso "no es un tensor"?

Es porque: existe un tensor que tiene esos componentes en el sistema de coordenadas actual, y puedes calcular cuáles deben ser esos componentes de ese tensor en un sistema de coordenadas transformado, pero si derivas el símbolo de Christoffel de ese otro sistema de coordenadas, es no tendrá esos componentes transformados . Entonces sí, el símbolo de Christoffel en algún sistema de coordenadas$A$coincide con un tensor, pero si cambia a un sistema de coordenadas diferente$B$entonces descubrirá que de hecho fue solo una coincidencia que esa entidad geométrica particular fuera su$\Gamma$. La noción abstracta de "símbolo de Christoffel" se define de tal manera que puede estar representada por varios tensores diferentes según el sistema de coordenadas, y es por eso que "no es un tensor".

¿Ves lo que quiero decir cuando digo que es un concepto sintáctico ? La ecuación señala un conjunto de números y ese conjunto de números es un tensor, el problema es que en diferentes sistemas de coordenadas la misma ecuación señala una entidad diferente y, por lo tanto, esa expresión no es una expresión de tensor .

Entonces, la relatividad especial dice que cuando aceleras hacia un reloj, parece que avanza más rápido, proporcionalmente tanto a la distancia que te separa como a tu aceleración. Este es el único hecho fundamental que la relatividad especial añade a nuestra física; todo lo demás puede derivarse de él. Tenemos un espacio de Minkowski 4D donde las entidades geométricas abstractas obedecen a las transformaciones de Lorentz conservando una métrica$\operatorname{diag}(1, -1, -1, -1)$. Y si lo solucionamos, el montaje de componentes$(ct, x, y, z)$corresponderá, si controlas por el hecho de que el espacio geométrico no sabe qué son las "unidades", a una sola entidad geométrica en ese espacio: si transformas esas coordenadas con esta regla de la relatividad especial, encontrarás que las nuevas los componentes de posición y tiempo coinciden con los componentes relativistas. Y así decimos que estos componentes "son un vector de cuatro".

1. Puede obtener la relatividad especial de la relatividad general en un límite muy aburrido. En la relatividad general, tienes un espacio abstracto de "puntos"$\mathcal M$y debe definir un conjunto de campos escalares de valor real$\mathcal S \subset \mathcal M \to \mathbb R$, que debe ser "suave" en el sentido de que el conjunto debe cerrarse bajo lo que llamo "$k$-funtores", estas son funciones de$C^\infty(\mathbb R^k, \mathbb R)$interpretado como actuando "puntualmente" en la salida, por ejemplo, para$k=2$tendríamos$f[s_1, s_2](p) = f\big(s_1(p),~s_2(p)\big)$. Este conjunto también define su topología, por lo tanto, cómo se conecta el espacio. Tenga en cuenta que esto da un cierre bajo la suma y la multiplicación puntuales.
2. En la relatividad general, los campos vectoriales son los mapas lineales de Leibniz$\mathcal V\subset \mathcal S\to\mathcal S$. Así que si$V$es un campo vectorial, este término "Leibniz-lineal" significa que para cualquier$k$-funtor, usando$\bullet^{(i)}$para significar "derivado parcial de$\bullet$con respecto a su$i^\text{th}$argumento", diríamos $$V\Big(f[s_1, s_2, \dots s_k]\Big) = \sum_{i=1}^n f^{(i)}[s_1\dots s_k]\cdot V(s_i).$$
3. Técnicamente, debe asumir un sistema de coordenadas en GR. Formalmente el axioma dice que alrededor de cualquier punto existe una vecindad y$n$campos escalares$c_{1,2,\dots n}$tal que cualquier campo vectorial puede, dentro de esa vecindad, escribirse como un$n$-funtor$f[c_1,\dots c_n].$Entonces uno puede identificar de manera única un vector como un derivado direccional con componentes$v_i = V(c_i).$Esos componentes son siempre campos escalares, mente.
4. Un covector es un mapa lineal de vectores a escalares,$\operatorname{Hom}(\mathcal V \to \mathcal S)$o como quieras anotarlo. Un$[m, n]$-tensor es un mapa multilineal de$m$covectores y$n$vectores a un escalar. Hay un axioma que dice que existe una métrica$[0,2]$-tensor y un$[2, 0]$-tensor inverso a él, proporcionando una biyección entre el espacio vectorial y el espacio covectorial y más generalmente entre todos$[m,n]$-tensores con el mismo$m+n$. Además de esto, se necesita un axioma de que cualquier$[n, 0]$-tensor se puede escribir como una gran suma de productos de vectores, de modo que el espacio de tensores no es sustancialmente más interesante que los productos de los espacios de vectores y covectores.