Prueba de que el cuatro potencial es un cuatro vector

Esto funciona perfectamente bien, pero es más una heurística.

Si$\lambda$es una función escalar, lo que significa que$\lambda \mapsto \lambda' = \lambda\circ \Lambda^{-1}$bajo una transformación de Lorentz$\Lambda$, entonces$\lambda(x) \mapsto \lambda'(x') = \lambda(\Lambda^{-1}\Lambda x) = \lambda(x)$. La mayoría de las funciones que parecen escalares son escalares, las excepciones generalmente involucran derivadas de alguna forma. En particular$f(x) = x^0$es una función escalar perfectamente fina, aunque no es un escalar de Lorentz en el sentido de que$f(\Lambda x) = f(x)$. Es una terminología confusa.

En la misma línea, transformar como un vector de cuatro bajo transformaciones de Lorentz significa$A^\mu \mapsto \Lambda_\nu^\mu A'^\nu$(nótese de nuevo la prima, que representa$A' = A\circ\Lambda^{-1}$), o$A\mapsto \Lambda\circ A\circ \Lambda^{-1}$, Desde entonces$A^\mu(x) \mapsto \Lambda^\mu_\nu A'^\nu(x') = \Lambda^\mu_\nu A^\nu(x)$- el punto en el que evalúa la función después de la transformación aún no ha cambiado, pero la transformación no solo cambió la forma en que se expresa la coordenada (como$x'$en lugar de$x$) sino también la base de su espacio vectorial.

Entonces, finalmente, sí$\partial^\mu \lambda$es un cuadrivector si$\lambda$es una función escalar simplemente porque$\partial^\mu \mapsto \Lambda^\mu_\nu \partial'^\nu$y$\lambda(x)\mapsto \lambda'(x')$. Dado que sumar dos cosas que no son del mismo tipo generalmente no está muy bien definido, concluimos que$A^\mu$mejor que sea un vector de cuatro si se trata de una cantidad significativa. Sin embargo, "mejor ser" no es una prueba. Formalmente tienes que examinar tu definición de$A^\mu$y deducir de ello que es un cuatrivector. Cómo funciona exactamente eso depende de si lo improvisaste a partir de las partes no relativistas.$\phi,\vec A$o lo definió como la antiderivada del tensor de intensidad de campo$F$.

Agregar un cuatro vector ($\partial^\mu \lambda$) a 4 componentes ($A^\mu$) no significa necesariamente que los cuatro componentes sean un vector de cuatro. La prueba habitual de que$A^\mu$es un cuatro vector se sigue de la ecuación de onda