La convención para anotar los índices de un tensor es escribir un superíndice de índice contravariante y un subíndice de índice covariante. Si se tiene una contravariante pura o un tensor covariante puro de segundo orden, entonces la asociación de los índice con el La dimensión del tensor es clara:
Sin embargo, si se trata de un tensor mixto de segundo orden, con frecuencia me encuentro con la notación
Incluso si fue simétrica en los índices y , en general, ya que se transforman de manera diferente bajo una transformación :
Incluso la literatura común usa esta notación insensible a la posición (Theoretical Physics 4 de Wolfgang Nolting, por ejemplo), y también lo hacen algunos de mis profesores en física de partículas, donde los tensores contravariantes y covariantes de El segundo orden aparece diariamente.
No te estás perdiendo nada en absoluto, es simplemente una notación descuidada, y las personas que lo hacen simplemente no quieren molestarse en poner el espacio correctamente.
Sin embargo, te falta algo sobre el caso de los tensores simétricos. En este caso, no hay ambigüedad: un índice superior se transforma al contraerse contra el índice inferior de , mientras que un índice inferior se transforma al contraerse contra el índice superior de .
Podrías pensar que hace una diferencia si quieres escribir la contracción como una multiplicación de matrices. Pero la multiplicación de matrices no es más que un truco para recordar las reglas generales que acabo de decir, y bastante limitadas. Puede ser cierto que la representación de la multiplicación de matrices difiera entre los dos casos que diste, pero eso solo significa que está agregando una complicación innecesaria. La regla de transformación, en notación de índice, es la definición real e inequívoca.