¿Debe ser cero la derivada de la función de onda en el infinito?

No necesariamente. Considere esta función como un ejemplo:

$$\psi(x) = \frac{C\sin x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

Esta función es integrable al cuadrado y asíntotas a cero como$x\to\pm\infty$, pero su derivada va a$2\cos x^2$en el mismo límite.

En mecánica cuántica, a menudo asumimos que los sistemas reales están representados por funciones de onda que no tienen características interesantes una vez que te alejas lo suficiente del origen. En la práctica, esto significa que la función y todas sus derivadas tienen "soporte compacto:"

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\partial^n\psi}{\partial x^n} = 0\ \forall\ n\in\mathbb{Z}_{0,+}$$

Esta declaración matemática corresponde a la suposición física de que puede ignorar cualquier cosa que suceda lo suficientemente lejos de su experimento.

Sin embargo, hay situaciones en las que es útil abandonar esta suposición. Por ejemplo, si está analizando una red cristalina, hace que los cálculos sean más fáciles de suponer que la red se extiende infinitamente en todas las direcciones y, en ese caso, usaría una función de onda que es periódica hasta el infinito. Por supuesto, tales funciones de onda generalmente tienen valores distintos de cero además de derivadas distintas de cero en general.$|x|$. No conozco ningún ejemplo que use una función de onda que asintote a cero pero cuyas derivadas no, aunque no me sorprendería en absoluto conocer uno.