¿Debe el infinito implicar repeticiones?

No estoy seguro de que la pregunta sea lo suficientemente precisa. Preguntemos: en una secuencia infinita, ¿debe repetirse alguna sección dada (es decir, tener otra sección isomorfa a ella)?

La respuesta aquí me parece claramente que no. Piense en el argumento de la diagonalización de Cantor. Hago un número infinito de cadenas de 1 y 0, cada una de las cuales es infinitamente larga así:

S1 1, 1, 1, 1, 1, . . .

S2 1, 0, 1, 0, 1, . . .

S3 0, 1, 0, 1, 0, . . .

S4 1, 0, 0, 1, 0, . . .

S5 0, 1, 1, 0, 1, . . .

Ahora diagonalizo para crear una nueva secuencia Sx, cuyo primer valor es opuesto al primer valor de S1, cuyo segundo valor es opuesto al segundo valor de S2 y así sucesivamente.

Sx 0, 1, 1, 0, 0, . . .

Ahora sé que Sx no ha ocurrido en ninguna parte del número infinito de secuencias S1. . . Sn. (A través de la prueba por contradicción. Supongamos que Sx es idéntica a alguna secuencia Sm, entonces tiene que ser el caso que el m-ésimo valor de Sx sea el opuesto del m-ésimo valor de Sm, porque así es como se definió Sx. Contradicción.) Pero si sé que Sx no está entre ninguno de los S1. . . Sn, entonces también sé que esta secuencia no se ha repetido en ninguna parte de ese conjunto infinito de secuencias.

Siento que debería haber una aplicación de este hecho a nuestra pregunta sobre si una sección de una secuencia infinita debería repetirse o no. Quizás alguien más vea cómo conectar este último enlace por nosotros.

Pero, ¿puede la repetición caracterizar el infinito? ¿O debería ser la natalidad, es decir, la verdadera infinidad se caracteriza por la no repetición, que por muy "lejana" que uno vaya, nada se repite, siempre hay alguna modalidad, algún aspecto que es esencialmente nuevo?

Sí a esto último. Para comprender el infinito, creo que es mejor primero tener un control firme sobre la noción de lo finito.

Considere la siguiente analogía no numérica: Supongamos que comenzamos con un paseo por un pueblo ordinario (finito) compuesto por varias casas. Supongamos además que eres libre de caminar por este pueblo para visitar algunas o todas esas casas en el orden que elijas.

Si comienzas en una casa, y sigues yendo de una casa a otra, y no vas a ninguna casa más de una vez, es lógico que eventualmente debas regresar a tu punto de partida. Eventualmente debe quedarse sin diferentes lugares a donde ir. Intuitivamente, esto sería cierto para cualquier aldea finita. Esto no sería cierto en un pueblo "infinito" donde podrías empezar en una casa y nunca volver a ella en tu caminata, incluso si pudieras caminar por una eternidad. Entonces, no es sorprendente que una aldea (u otro conjunto de objetos) sea infinita si y solo NO es finita.

Se puede decir que un conjunto de objetos es infinito si y solo si es posible comenzar en algún elemento y seguir yendo de un elemento a otro, y no ir a ningún elemento más de una vez (es decir , sin repetición ), y nunca regresar. al punto de partida.

(Vea también "Infinity: The Story So Far", revisado hace un momento en mi blog de matemáticas , para un desarrollo formal de estas ideas).

Por favor vea mi respuesta a esta pregunta similar aquí .

Resumen: si el conjunto de estados posibles está acotado, entonces algún estado debe repetirse. Pero si no, no. El conjunto de estados 1, 2, 3, 4, ... nunca se repite. Pero si dices que solo hay 3 estados, entonces algún estado debe repetirse infinitamente muchas veces. Pero no es necesariamente el caso de que todos los estados se repitan. Entonces, por ejemplo, si hay un número infinito de universos y solo un número finito de estados legales disponibles en una región del espacio-tiempo, entonces alguien tiene infinitas copias de sí mismo ahí fuera; pero lo más probable es que yo no, y lo más probable es que tú tampoco. Como dicen los niños estos días: YOLO. Sólo se vive una vez. No se dan cuenta de esto, pero están haciendo un punto profundo y perspicaz sobre la cosmología y la metafísica.

Pero vea mi respuesta original, que también considera el argumento probabilístico que se ve a menudo en línea. Para resumir, los eventos de probabilidad cero pueden ocurrir en infinitos espacios de probabilidad; por lo tanto, el argumento probabilístico de que todos vivimos muchas veces es falso.

Y además: No sabemos qué restricciones imponen las leyes de la física sobre el conjunto de estados permisibles. Entonces, el argumento ingenuo de que "Todo debe suceder en un espacio de muestra infinito" es simplemente falso.

Afirmaría que el infinito y la repetición no tienen nada que ver entre sí en un nivel básico, pero que cada representación humana del infinito solo puede hacerse a través de la repetición.

Solo tenemos un número finito de símbolos con los que trabajar, y a través de ellos podemos definir solo un número contable de cosas con claridad. Podemos definir los números enteros, y darle a cada uno de ellos una representación única, e ir de ahí a los racionales, y de ahí a todas las raíces algebraicas de los polinomios racionales, y de ahí a todas las formas integrales cerradas con límites entre esos números identificados algebraicamente, etc. etc. etc. Después de un número contablemente infinito de capas, eventualmente podríamos tener una representación para cada número real, en teoría.

Pero si realmente queremos escribir una alusión al infinito, tiene que ser en términos de un conjunto finito de entre esta torre de representaciones cada vez más complejas, y más allá de eso, si realmente va a ser determinista, es tiene que ser capturado en algún algoritmo finito que escribiría el resto de las representaciones a las que aludimos. Por lo tanto bucles o recursión, y por lo tanto repetición.

Cuando pensamos que los puntos de la línea real todos 'parecen iguales', es porque la gran mayoría de ellos no pueden tener nombres que centren nuestra atención en ellos de una manera que marque la diferencia. Pero esta es una ilusión que nos impone el lenguaje. No podemos capturar el detalle de manera significativa con un número finito de símbolos.

(Desde un punto de vista constructivista, eso significa que la mayoría de esos puntos no existen, y todo es finito con una sola iteración contable representada como un proceso. Las construcciones infinitas son útiles para proyectar conceptos, pero si no puede construir los resultados, puede no tienen objeto. Desde ese punto de vista, todos los infinitos son contables e inaccesibles. Entonces, en ese estado de ánimo (que manejo mejor), su observación es correcta.

Sin embargo, ser correcto en realidad y ser correcto en principio no es lo mismo, esta asociación es falsa en principio.)

¿Qué es una repetición?

Los ejemplos populares hasta ahora incluyen números y objetos físicos que se cuentan, pero todo está lleno de concepciones de espacio-tiempo. Una fracción de un número que continúa infinitamente no es infinito. Suponiendo que 1 unidad se puede sumar o restar infinitamente no es infinito.

Al definir el infinito, ¿por qué creer que podemos aplicar los principios del espacio-tiempo?

El infinito no existe en el espacio-tiempo, por lo que no debemos insinuar el tiempo al describirlo; por lo tanto, no, el infinito no debe implicar repeticiones.