Momento angular y par en giroscopio

Me parece que en los diagramas esquemáticos de las capturas de pantalla que presentas falta algo esencial.

La idea de una brújula giroscópica mecánica es que el eje de giro de la rueda del giroscopio eventualmente se alinee con la rotación impuesta externamente.

Para una brújula giroscópica, esa rotación impuesta externamente es, por supuesto, la rotación de la Tierra.

Permítanme presentarles un esquema de nombres para los ejes.

Defino tres ejes:

• Eje de balanceo: la rueda del giroscopio gira alrededor del eje de balanceo.
• Eje de cabeceo: movimiento del cuadro rojo.
• Eje giratorio: movimiento del marco amarillo.

El siguiente video de YouTube, Gyrocompass , muestra una demostración a escala de mesa.

El giroscopio utilizado en ese video tiene fricción en todos los rodamientos.

Por el contrario: en el caso idealizado tenemos que todas las partes se mueven sin fricciones. Sin ninguna fricción, el eje de giro de la rueda del giroscopio nunca se alinearía con el eje de la Tierra. En cambio, la rotación impuesta externamente (rotación de la Tierra) haría que el eje de giro de la rueda del giroscopio barriera un cono, sin alinearse nunca con el eje de la Tierra.

En el video, el eje de giro de la rueda se alinea gracias a la fricción en los cojinetes. Debido a esa fricción, el cono que barre el eje de giro del giroscopio se encoge, de modo que finalmente el eje de giro se alinea con la rotación aplicada externamente.

El girocompás mecánico es un diseño que ahora está obsoleto, reemplazado por instrumentos que realizan la misma función, pero que internamente operan con medición de rotación de fibra óptica o medición de rotación con tecnología MEMS .

Difícilmente puedo encontrar información de calidad sobre girocompases. El artículo de la Enciclopedia Británica sobre Gyrocompass es el mejor que he encontrado hasta ahora.

Recurso adicional:
En el sitio web de la Asociación del Parque Nacional Marítimo de San Francisco:
Manual de servicio del Sperry Mark XIV, mod. 1, 17-1400D Gyrocompass, que generosamente también contiene un apéndice con una discusión extensa de los principios fundamentales de la Gyro-compass

El diseño de Sperry incluye una amortiguación finamente ajustada (que involucra mercurio) de modo que cuando la brújula giroscópica se inicia desde un estado de giro cero, se asienta en el norte geométrico en el menor tiempo posible.

Volviendo al tratamiento de los girocompases en el libro de texto de Kleppner.

Por lo que puedo decir, las declaraciones en las partes del libro de texto que copió están en desacuerdo con la forma en que realmente funcionan las brújulas giroscópicas.

Es decir, por lo que puedo decir, las afirmaciones sobre girocompases en ese libro de texto son erróneas.

En mi opinión, el momento angular del espín giratorio nunca puede tener una componente en AB. Siempre permanecerá perpendicular a AB y no contribuirá al cambio en el momento angular total a lo largo de AB.

Creo que me estoy perdiendo algo aquí. Todo lo que sé es que si EL TORQUE A LO LARGO DE UNA DIRECCIÓN ES CERO, EL MOMENTO ANGULAR NO CAMBIARÁ A LO LARGO DE ESA DIRECCIÓN LO QUE NO SE ES QUE SUCEDERÁ SI LA DIRECCIÓN MISMA SE ESTÁ EN MOVIMIENTO.

Tiene la duda correcta y, cuando tenga dudas, es mejor volver a los fundamentos para buscar una solución. Recordemos los principios básicos:

1. La tasa de cambio del momento angular en un marco de inercia es igual al par de las fuerzas externas (suponiendo que el par de las fuerzas internas es cero).

2. Un vector se puede cambiar cambiando la magnitud o la dirección.

Teniendo en cuenta los dos principios anteriores, primero elegimos el marco inercial para que sea el marco de laboratorio (en el que todo el conjunto gira sobre la vertical con velocidad angular$\Omega$). Estacionemos el origen del marco de laboratorio en el centro de la brújula giroscópica que está claramente estacionaria en el marco de laboratorio.

A continuación, aunque la dirección$AB$está cambiando en el espacio, imagina un momento fijo en el tiempo$\ t = t_{o}$. En$\ t=t_o$,$AB \ $apuntará en una dirección fija en el espacio. La ecuación del par (principio 1 anterior) nos dice que el par en la dirección$AB$en$\ t = t_o$es igual a la tasa instantánea de cambio del momento angular en la dirección de$AB$. Matemáticamente, esto significa calcular$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}$en$t=t_o$y llevando su proyección a lo largo$AB$.

Como ya explicó Kleppner-Kolenkow, el componente de torque en el sistema a lo largo del eje$AB$en el marco de laboratorio sobre nuestro origen elegido es cero (suponen que el centro de masa del giroscopio está en su centro geométrico y no hay fricción en el eje$AB$). Entonces, la única tarea a mano es calcular$\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}$en$t=t_o$a lo largo de$AB$.

Ahora, para hacer el cálculo de$\big(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}\big)_{t=t_o}$, tenga en cuenta que el "momento angular de giro" tiene una componente vertical y otra horizontal. Pero la componente horizontal está en precesión con respecto a la vertical con velocidad angular$\Omega$(porque todo el conjunto está girando sobre la vertical)! Esto implica que la "dirección" de la componente horizontal del "momento angular de giro" en el marco del laboratorio cambia constantemente. Por el principio 2 (establecido anteriormente), esta precesión conduce a una contribución en la expresión para$\big(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}\big)_{t=t_o}$.

Ahora recomendaría (volver a) leer la sección anterior en el mismo capítulo de este libro (probablemente se llame "precesión del giroscopio" ; también consulte esto para la visualización). La esencia de esa sección es que en el caso de un movimiento puramente de precesión$-$imagina un vector,$\vec{V}$, de longitud fija, girando alrededor de un eje fijo con velocidad angular instantánea$\vec{\omega} \ -$tenemos

En este caso particular,$\vec{\omega} = \Omega \ \hat{k}$, y$\vec{V}$es la componente horizontal del "momento angular de giro" (porque recuerde que todo el ensamblaje gira sobre la vertical y, por lo tanto, la componente horizontal del "momento angular de giro" también está en precesión). La única salvedad menor aquí es que$\vec{V}$podría cambiar en magnitud$-$sin embargo, esto no contribuye en nada en la dirección$AB$porque ($\vec{V}$se dirige perpendicular a$AB$). Claramente entonces, la contribución precesional en la dirección$AB \ $es dado por$\Omega L_s \sin \theta$, y pasa a ser la única otra contribución a$\big(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}\big)_{t=t_o}$a lo largo de$AB$aparte de lo habitual$I_{\perp}\ddot{\theta} \ -$y esto es exactamente lo que afirman Kleppner-Kolenkow.

Así, tenemos,

Si bien esto prueba heurísticamente la ecuación del torque, todavía sugeriría usar las ecuaciones de Euler o escribir explícitamente los componentes de$\vec{L}$en el marco del laboratorio y tomando derivadas de tiempo para no perder otras contribuciones en configuraciones más complejas.

Además de esto, como lo explicaron otros, la fricción amortigua este movimiento oscilatorio (similar a un péndulo) en$\theta$, eventualmente alineando el eje del giroscopio con el eje alrededor del cual gira la plataforma ($\theta = 0$).

Nota: este problema solo ilustra el principio de una brújula giroscópica$-$para un dispositivo girocompás real, la plataforma giratoria es la tierra.

Espero que esto ayude.

La rotación de la plataforma giratoria ejercerá un par sobre el eje AB. Ese vector de torque se dirige hacia arriba, se transmite al eje de la rueda y hará que el vector de momento angular de la rueda oscile hacia arriba y eventualmente se estabilice en la posición vertical. Sus ecuaciones predicen la velocidad a la que ocurrirá esta oscilación. Al girar hacia arriba, la rueda desarrolla un momento angular alrededor del eje AB (su vector se dirige a lo largo del eje). Este impulso lo llevará más allá de la posición vertical y dará lugar a oscilaciones (quizás amortiguadas por la fricción).

Aunque la respuesta de Cleonis proporciona una gran cantidad de detalles excelentes, tal vez un modelo físico ayude a comprender lo que está sucediendo:

• La precesión giroscópica en su forma habitual continúa para siempre.

• La fricción que se opone a la precesión puede/proporcionará un par.

• Ese par se opone a la precesión al tender a alinear el eje de momento, esencialmente reduciendo el tamaño del círculo de precesión.

• Una vez que ese proceso sigue su curso, el giroscopio se estabiliza con su eje alineado y puede usarse como una brújula.

Para entender esos dos pasos intermedios, imagina que estás mirando paralelo al eje de la Tierra. Verá la punta del giroscopio girando en un círculo alrededor de eso, digamos en sentido contrario a las agujas del reloj. La fricción que se opone a eso en cada punto es un par hacia usted, tirando del vector L del giroscopio para que apunte hacia usted, por lo tanto, haga un círculo de precesión más pequeño. Eso se repite hasta que esté alineado.