De Lagrangiano a Hamiltoniano en el Modelo Fermiónico

Los momentos canónicos no cambian si agregas una derivada total al Lagrangiano.

La derivada total particular que deseaba agregar al Lagrangiano, así como al Lagrangiano mismo, tiene libre$i,j$índices. Seguramente quiso decir algo más porque el Lagrangiano no debería tener índices libres como ese. Déjame suponer que querías que ambas expresiones se sumaran con la suma y el prefactor$\sum_{ij} c_{ij}$. O tal vez realmente quiso decir que el Lagrangiano es un monomio para valores fijos de$i,j$.

Pero ese no es el problema aquí. El error relevante para su pregunta es que consideró un espacio de fase que tiene coordenadas$\psi_j$,$\bar\psi_i$,$\pi_{\psi_i}$, y$\pi_{\bar\psi_j}$, y crees que son coordenadas independientes en el espacio de fase. Serían demasiadas coordenadas de espacio de fase para un sistema tan limitado.

Bueno, no son independientes. La derivación correcta, utilizando cualquier forma del Lagrangiano que desee, le dará$\pi_{\psi_i}=-\bar \psi_i$(¡sin un medio; y ecuaciones que pueden obtenerse mediante conjugaciones simples de esta!) por lo que significa que el "mismo" no diferenciado$\psi$Los 's son también sus propios momentos.

Si reescribes el Lagrangiano de tal manera que se elimina la notación redundante, es decir, no crees que las coordenadas que son dependientes sean en realidad independientes (este es el error que te hizo terminar con los momentos canónicos siendo la mitad de sus valor correcto; por ejemplo, usó incorrectamente$\partial\dot{\bar\psi_i} / \partial \psi_j = 0$, que no es cierto, en el primer impulso que mencionas), verás que

$$\frac{\partial L}{\partial \dot\psi_j }=-\bar\psi_i$$ si utilizo tu confusa no suma sobre $i,j$. No hay factor de 1/2. De hecho, para derivar esto sin problemas, es útil reescribir primero el Lagrangiano como $\bar\psi_i\dot\psi_j$sumando la derivada total apropiada. Este formulario es único porque no contiene $\dot{\bar\psi_i}$y no $\psi_j$, por lo que solo se expresa en función de la 1/2 independiente de los grados de libertad.

No hace falta decir que el hamiltoniano es cero si el lagrangiano fermiónico solo contiene el término cinético con la derivada del tiempo.

No está del todo claro qué tiene en mente el Lagrangiano OP. Aquí supondremos que el lagrangiano se lee

$$L~=~\frac{i}{2} g_{IJ} \left(\overline{\psi}^I \dot{\psi}^J-\dot{\overline{\psi}}^I \psi^J \right) + \frac{1}{2} h_{IJ} \left(\overline{\psi}^I \dot{\psi}^J+\dot{\overline{\psi}}^I \psi^J \right), \tag{1}$$

dónde$\psi^{I}$es un campo escalar complejo Grassmann-impar, y$\overline{\psi}^I$es el campo complejo conjugado. (Esta elección está parcialmente inspirada en una de las otras preguntas de Phys.SE de OP). Las métricas son constantes

$$g_{JI}~=~g_{IJ}~=~\overline{g}_{JI}, \qquad h_{JI}~=~h_{IJ}~=~\overline{h}_{JI}. \tag{2}$$

El segundo término en el Lagrangiano (1) es un término derivado total. Esto solo se incluye por diversión para ver cómo esto no afecta el procedimiento de cuantificación. Para derivar el formalismo hamiltoniano, usaremos una versión impar de Grassmann de esta respuesta Phys.SE. (Recomendamos que el lector se familiarice con el modelo par de Grassmann en esa respuesta antes de tratar de entender el modelo impar de Grassmann en esta respuesta).

Las relaciones canónicas de anticonmutación (CAR) dicen

$$\{\psi^I, \pi_J \}_{PB}~=~\delta^I_J~=~\{\overline{\psi}^I, \overline{\pi}_J \}_{PB} ,\tag{3}$$

$$\{\overline{\psi}^I, \pi_J \}_{PB}~=~0~=~\{\psi^I, \overline{\pi}_J \}_{PB} .\tag{4}$$

Los momentos impares de Grassmann están dados por las derivadas derechas del Lagrangiano

$$\pi_I~:=~L\frac{\stackrel{\leftarrow}{\partial^r}}{\partial \dot{\psi}^I}~=~\frac{1}{2}\overline{\psi}^J(i g_{JI}+h_{JI}), \tag{5}$$

$$\overline{\pi}_I~:=~L\frac{\stackrel{\leftarrow}{\partial^r}}{\partial \dot{\overline{\psi}}^I} ~=~\frac{1}{2}(i g_{IJ}-h_{IJ})\psi^J.\tag{6}$$

El hamiltoniano es idénticamente cero,

$$H~:= ~ \pi_I\dot{\psi}^I+\overline{\pi}_I\dot{\overline{\psi}}^I - L~=~0.\tag{7}$$

Las ecuaciones (5) y (6) producen dos restricciones principales

$$0~\approx~\chi_I~:=~\pi_I-\frac{1}{2}\overline{\psi}^J(i g_{JI}+h_{JI}), \tag{8}$$

$$0~\approx~\overline{\chi}_I~:=~\overline{\pi}_I-\frac{1}{2}(i g_{IJ}-h_{IJ})\psi^J.\tag{9}$$

Son, a su vez, restricciones de segunda clase,

$$\{\chi_I, \overline{\chi}_J \}_{PB}~=~-ig_{IJ}~=~\{\overline{\chi}_I, \chi_J \}_{PB} ,\tag{10}$$

$$\{\chi_I, \chi_J \}_{PB}~=~0~=~\{\overline{\chi}_I, \overline{\chi}_J \}_{PB} ,\tag{11}$$

independiente de la$h_{IJ}$métrico.

El soporte de Dirac se convierte en

$$\begin{align}\{f, g \}_{DB}~:=~& \{f, g \}_{PB}- i\{f, \chi_I\}_{PB}g^{IJ}\{ \overline{\chi}_J,g\}_{PB}\cr &- i\{f, \overline{\chi}_I\}_{PB}g^{IJ}\{ \chi_J,g\}_{PB}.\end{align}\tag{12}$$

En otras palabras, las relaciones de anticonmutación de Dirac se vuelven

$$\{\psi^I, \overline{\psi}^J \}_{DB}~=~-ig^{IJ}~=~\{\overline{\psi}^I, \psi^J \}_{DB} ,\tag{13}$$

$$\{\psi^I, \psi^J \}_{DB}~=~0~=~\{\overline{\psi}^I, \overline{\psi}^J \}_{DB} ,\tag{14}$$

de acuerdo con el método de Faddeev-Jackiw. Las relaciones de anticonmutación del operador correspondiente se leen

$$\{\hat{\psi}^I, \hat{\overline{\psi}}^J \}_{+}~=~\hbar g^{IJ}~=~\{\hat{\overline{\psi}}^I, \hat{\psi}^J \}_{+} ,\tag{15}$$

$$\{\hat{\psi}^I, \hat{\psi}^J \}_{+}~=~0~=~\{\hat{\overline{\psi}}^I, \hat{\overline{\psi}}^J \}_{+} .\tag{16}$$