¿Qué hace que una ecuación sea una 'ecuación de movimiento'?

Una ecuación de movimiento es un (sistema de) ecuación para las observables básicas de un sistema que involucra una derivada del tiempo, para el cual se plantea bien algún problema de valor inicial.

Por lo tanto, una ecuación de continuidad normalmente no es una ecuación de movimiento, aunque puede ser parte de una, si las corrientes son campos básicos.

En general, una ecuación dinámica de movimiento o ecuación de evolución es una ecuación diferencial (hiperbólica) de segundo orden en el tiempo. Determinan la evolución del sistema.

$\partial_{\mu}F^{i\mu}$es una ecuación dinámica.

Sin embargo, una restricción es una condición que debe verificarse en todo momento y, en particular, las condiciones iniciales tienen que verificar las restricciones. Dado que las ecuaciones de movimiento son de orden dos en el tiempo, las restricciones tienen que ser como mucho de orden uno.

La ley de Gauss$\partial_{\mu}F^{0\mu}$es una restricción porque solo involucra una primera derivada en el tiempo en el espacio de configuración, es decir, cuando$\bf E$se expresa en función de$A_0$y$\bf A$. Además, la ley de Gauss es la generadora de transformaciones de norma. En la teoría cuántica, solo los estados que son aniquilados por la ley de Gauss son estados físicos.

Tanto las ecuaciones dinámicas como las restricciones pueden llamarse ecuaciones de movimiento o ecuaciones de Euler-Lagrange de un funcional de acción dado. O bien, se puede conservar el término ecuación de movimiento para las ecuaciones dinámicas. Es una cuestión de semántica. La distinción importante es entre restricciones y ecuaciones de evolución.

Las leyes de conservación se derivan principalmente de las simetrías y del teorema de Noether. A menudo, pero no siempre, las ecuaciones de movimiento se derivan de las leyes de conservación. Si uno considera uno más fundamental es una cuestión de gusto personal.

La ecuación de Dirac relaciona varios componentes de un espinor de Dirac. Cada componente verifica la ecuación de Klein-Gordon, que es una ecuación de evolución de orden dos.

OP escribió (v2):

¿Qué hace que una ecuación sea una 'ecuación de movimiento'?

Como menciona David Zaslavsky en un comentario, en general, no hay una definición exacta. En términos generales, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones de evolución , con las que se puede determinar el comportamiento futuro (y pasado) de las variables dinámicas.

Sin embargo, si una teoría tiene un principio de acción , entonces existe un precedente dentro de la comunidad física, véase, por ejemplo, Ref. 1. Entonces, sólo las ecuaciones de Euler-Lagrange se denominan tradicionalmente 'ecuaciones de movimiento', sean o no ecuaciones dinámicas (es decir, contienen derivadas temporales) o restricciones (es decir, no contienen derivadas temporales).

Referencias:

1. M. Henneaux y C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, 1994.

En la teoría de campos, una ley de conservación simplemente establece que se conserva alguna cantidad: si$\partial_\mu \, \star = 0$dónde$\star$es un vector o un tensor, puedes asociar una carga conservada, etc. - ya sabes la perorata, supongo.

Las restricciones son algo que impones a mano (o por experimentación).

Finalmente, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones dinámicas que se derivan de la ecuación de Euler-Lagrange. Tanto la ecuación de Dirac como$\partial^\mu F_{\mu \nu} = 0$satisfacer ese criterio. [Sin embargo, si elige un indicador, queda mucho más claro que está tratando con un PDE para el campo$A_\mu$, como$\square A_\mu = 0.$] También tenga en cuenta que ambos implican$\partial_t$o$\partial_t^2$. Tenga en cuenta que$\nabla \cdot \mathbf{E}$solo involucra derivadas espaciales, por lo que no da dinámicas.

En tu ejemplo,$\partial^\mu j_\mu = 0$es una ley de conservación clásica que no describe cómo evoluciona una cantidad microscópica en el tiempo; no se deriva de Euler-Lagrange.