De forma intuitiva y gráfica, ¿qué significa la desigualdad del valor medio?

$\newcommand{\ve}{\varepsilon}$Entonces, repasemos el teorema del valor medio, en su enunciado habitual, con una función$B$para que coincida con la notación del video.

Si$B$es continua en$[a,b]$y diferenciable en$(a,b)$, para$a< b$, entonces$\exists c \in (a,b)$dónde

$$\frac{B(b) - B(a)}{b-a} = B'(c)$$

Es decir, hay un punto en el intervalo$(a,b)$donde la tasa de cambio promedio es igual a la tasa de cambio instantánea.

si dejamos$\varepsilon > 0$y$a=t$(y usamos esto porque queremos pensar en cambios muy pequeños), esto es válido en particular para$[t,t+\ve]$:

$$\frac{B(t+\ve) - B(t)}{\ve} = B'(t)$$

Con la suposición adicional de que$B'$es continua en$[a,b]$, un intervalo cerrado, podemos afirmar que$\exists M \in \Bbb R_{\ge 0}$delimitando$B'$, es decir

$$|B'(t)| \le M \qquad \forall t \in [a,b]$$

Entonces nosotros tenemos

$$\left| \frac{B(t+\ve) - B(t)}{\ve} \right| = \frac{\left| B(t+\ve) - B(t) \right|}{\ve} = |B'(t)| \le |M| = M$$

Por lo tanto

$$\frac{\left| B(t+\ve) - B(t) \right|}{\ve} \le M \implies \left| B(t+\ve) - B(t) \right| \le \ve M$$

Me imagino que en el video el instructor simplemente asume que estás usando el$t$por lo que este máximo$M$se alcanza y luego tienes$A=M$.

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Se puede ganar una intuición al notar

$$\frac{ B(t+\ve) - B(t) }{\ve} \le M$$

(desde$x \le |x|$). Es decir, para una función "agradable" como$B$, su tasa de cambio promedio (lado izquierdo) en un intervalo nunca puede exceder la tasa de cambio instantánea más grande en ese intervalo.

Pensando en términos de velocidad, su función nunca puede ir más rápido en promedio durante un intervalo (el lado izquierdo), que su velocidad más rápida en cualquier punto dado ($M$, que acota la derivada).

(Tomando el valor absoluto entonces solo lo enfoca en la "magnitud" de esa velocidad o de ese cambio).

Esto debería tener sentido, ya que el teorema del valor medio garantizaría un límite diferente$M$si lo contrario fuera cierto.

Aquí está la parte importante de la intuición: si la curva$A$tiene una pendiente que nunca es mayor que la pendiente de la curva$B$, luego curva$B$produce mayores diferencias de altura que la curva$A$. Aquí, curva$A$es la grafica de$f$, su diferencia de altura en el intervalo$[a,b]$ser$\vert f(b)-f(a)\vert$y curva$B$es la gráfica de la función$h:x\mapsto Mx$, siendo su diferencia de altura en el mismo intervalo$M(b-a)$.

¿Por qué es esto cierto? Debido a la formulación habitual del teorema del valor medio. Si la diferencia de altura en la gráfica de$f$durante el intervalo$[a,b]$fueron mayores que las de$Mx$, entonces$\frac{\vert f(b)c-f(a)\vert}{b-a}$sería mayor que$M$. Pero entonces$\vert f'\vert$tendría que asumir un valor mayor que$M$en algún lugar del intervalo, lo que contradice el hecho de que$M$era un límite en$f'$.

Los detalles necesitan más cuidado debido a los valores absolutos con los que estamos trabajando, pero esta es la esencia.

Gráfica e intuitivamente, bajo las hipótesis de la pregunta la gráfica de $f$se encuentra en la cuña sombreada en verde:

(Tenga en cuenta, sin embargo, que no todos los gráficos que se encuentran en esta cuña satisfacen$|f'| \leq M$.)