¿De dónde viene la expresión Tr(K)=∑nj=1⟨ψj|K|ψj⟩Tr(K)=∑j=1n⟨ψj|K|ψj⟩\mathrm{Tr}(K) = \sum_{j= 1}^{n}\langle\psi_j|K|\psi_j\rangle para la traza parcial?

Una definición razonable para la traza parcial es la siguiente. Dado cualquier conjunto de bases ortonormales$|a_i\rangle$y$|b_i\rangle$para$\mathcal H_a$y$\mathcal H_b$respectivamente, cualquier operador$K$en el espacio$\mathcal H_a\otimes \mathcal H_b$puede ser escrito

$$K = \sum_{ij k\ell} K_{ijk\ell} |a_i\rangle |b_j\rangle \langle a_k|\langle b_\ell|$$

dónde$K_{ijk\ell} \equiv \langle a_i|\langle b_j| K |a_k\rangle |b_\ell\rangle$, y$\langle a_i|\langle b_j| \equiv \langle a_i|\otimes \langle b_j|$(Omito el$\otimes$para mayor claridad de notación). La traza parcial se define entonces como

$$\mathrm{Tr}_b(K):= \sum_{ik\ell}K_{i\ell k\ell}|a_i\rangle\langle a_k|$$

que ahora es un operador lineal en$\mathcal H_a$solo, con coeficientes

$$\bigg(\mathrm{Tr}_b(K)\bigg)_{ik} = \sum_\ell K_{i\ell k\ell}$$

Muchas personas optan por escribir ecuaciones$(1)$porque da la impresión de calcar sobre el$|b_i\rangle$base mientras se deja el$|a_i\rangle$base sola. Sin embargo, si miras demasiado de cerca la expresión, realmente no tiene sentido.$^\dagger$- qué tipo de objeto es (operador)$\otimes$(vector)?

Si supiera la expresión para$K$, la expresión (1) sería equivalente a aplicar$\mathrm{Tr}_b(K) = \sum_j \langle b_j|K|b_j\rangle$?

Esa expresión no tiene sentido.$K$actúa sobre$\mathcal H_a\otimes \mathcal H_b$, entonces que hace$K|b_j\rangle$significa si$|b_j\rangle \in \mathcal H_b$?

De igual forma me gustaría saber de dónde salió la ecuación (2).

Si tienes un estado puro$|\psi\rangle\in \mathcal H_a\otimes \mathcal H_b$, entonces el operador de densidad correspondiente viene dado por$\rho_\psi := \frac{|\psi\rangle \langle \psi|}{\langle \psi|\psi\rangle}$. Si aplica un operador de proyección$P_a\otimes \mathbb I_b$a tu estado$|\psi\rangle$, su nuevo operador de densidad se convierte en

$$\rho = \frac{(P_a \otimes \mathbb I_b)|\psi\rangle\langle \psi|(P_a \otimes \mathbb I_b)}{\langle \psi|(P_a \otimes \mathbb I_b)^2|\psi\rangle}$$

que es igual a su ecuación (2). En resumen, los operadores de densidad heredan su evolución proyectiva de la evolución proyectiva de los estados a partir de los cuales se construyen. Esto entonces se extiende naturalmente a estados que no son necesariamente puros.

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$^\dagger$Esto se puede remediar. Objetos como estos se pueden definir con un poco de reflexión, y el resultado es intuitivamente justo lo que cabría esperar.