Pregunta sobre el verdadero significado de la huella parcial

Considere un sistema compuesto cuyo espacio de Hilbert es H A B = H A ⊗ H B , dónde { | 0 A ⟩ , | 1 A ⟩ } y { | 0 B ⟩ , | 1 B ⟩ } son bases ortonormales de H A y H B , respectivamente.

Supongamos que el sistema compuesto está en estado puro. | ψ ⟩ = 1 2 ( | 0 A 1 B ⟩ − | 1 A 0 B ⟩ ) cuya matriz de densidad está dada por

ρ = 1 2 ( | 0 A 1 B ⟩ ⟨ 0 A 1 B | + | 1 A 0 B ⟩ ⟨ 1 A 0 B | − | 0 A 1 B ⟩ ⟨ 1 A 0 B | − | 1 A 0 B ⟩ ⟨ 0 A 1 B | )

el estado de la A -subsistema viene dado entonces por la traza parcial de ρ con respecto a B , es decir

ρ A = t r B ( ρ ) = 1 2 ( | 0 A ⟩ ⟨ 0 A | + | 1 A ⟩ ⟨ 1 A | ) .

ρ A es una descripción completa del A -subsistema, y ​​usándolo podemos predecir los resultados de todas las mediciones que se pueden realizar en A .

Ahora, tomando el rastro parcial de ρ con respecto a B parece estar haciendo dos cosas: (1) nos dice que los 'términos fuera de la diagonal' en ρ (es decir, los dos últimos términos de la ecuación anterior para ρ ) son irrelevantes para la descripción del A -subsistema; (2) nos da una manera de hablar sobre el A -subsistema sin mencionar el B -base vectores a través de la expresión anterior para ρ A .

Sin embargo, me parece (a mí, en todo caso) que (1) es lo realmente importante y significativo. Una vez que sabemos qué términos en ρ están obligados a describir la A -subsistema completamente, no importa si estamos mencionando algunos vectores base del B -subespacio. En otras palabras: parece como si

ρ A ′ = 1 2 ( | 0 A 1 B ⟩ ⟨ 0 A 1 B | + | 1 A 0 B ⟩ ⟨ 1 A 0 B | )
es tan buena una descripción de la A -subsistema como ρ A ; el hecho de que estamos usando el lenguaje de H A B no es importante

Pregunta: ¿Es esto correcto? Si no, ¿dónde me estoy equivocando?

PS: En esta línea de pensamiento, el operador ρ A ′ también sería una descripción completa de la B -subsistema. Pero esto es solo el resultado de las simetrías del ejemplo simple que elegí: ambos rastros parciales de ρ encima A y B hacer cumplir la eliminación de exactamente los mismos términos fuera de la diagonal. Pero esto no es generalmente el caso.

Respuestas (1)

No, tu línea de pensamiento no es correcta. De hecho, es más bien lo contrario: nos preocupamos principalmente por la traza parcial por la razón (2), es decir, es la única forma de asignar un estado al subsistema A si no tiene acceso a las mediciones en B. El El atributo (1) es específico del ejemplo particular que eligió y es esencialmente un subproducto.

Si toma dos sistemas cuánticos con espacio de estado conjunto H A B = H A ⊗ H B , entonces cualquier estado puro o mixto del sistema conjunto puede describirse mediante una matriz de densidad conjunta ρ A B , y esa matriz de densidad conjunta se puede usar para obtener los valores esperados de cualquier observable q ^ a través de la traza completa

⟨ q ⟩ = T r ( q ^ ρ A B ) .
Sin embargo, si solo tiene acceso a las mediciones en el subsistema A, entonces está restringido a medir observables de la forma q ^ = R ^ ⊗ I , y para aquellos el valor esperado se simplifica sustancialmente: tomando bases { | norte A ⟩ } y { | norte B ⟩ } para H A y H B , respectivamente, se lee
⟨ q ⟩ = T r ( q ^ ρ A B ) = T r ( R ^ ⊗ I   ρ A B ) = ∑ norte A , norte B ⟨ norte A | ⟨ norte B | ( R ^ ⊗ I   ρ A B ) | norte A ⟩ | norte B ⟩ = ∑ norte A ⟨ norte A | ( R ^   ∑ norte B ⟨ norte B | I ρ A B | norte B ⟩ ) | norte A ⟩ = T r A ( R ^   T r B ( ρ A B ) ) .
En otras palabras, la traza parcial ρ A = T r B ( ρ A B ) es la matriz de densidad que da cuenta de todas las observaciones experimentales realizadas en el subsistema A que no involucran al subsistema B.

Cualquier cosa que se desprenda de esta definición, con la justificación central como la anterior, es simplemente eso: una consecuencia de la definición.

Gracias por tu respuesta, Emilio, ¡realmente te lo agradezco!
Solo para aclarar: estaba dando por sentado todo lo que explicas. Supongo que lo que estaba tratando de decir es: siempre que estés considerando un operador de la forma q = R A ⊗ 1 B , entonces T r ( q ρ A B ) = T r ( q ρ A ′ ) desde T r B ( 1 B ρ A B ) = T r B ( 1 B ρ A ′ ) , dónde ρ A ′ se obtiene de ρ A B restando todos los sumandos de la forma | norte A norte B ⟩ ⟨ norte A ′ norte B ′ | con norte B ≠ norte B ′ . Si esto es incorrecto, ¿cuál sería un contraejemplo?
tu propuesta ρ A ′ no es un operador en el espacio de estado de A como ρ A : H A → H A . Realmente no hay nada más que agregar a eso: si no está restringido al espacio de estado del sistema, entonces no es un estado del sistema. Si ese punto central no está claro, entonces no hay mucho que decir.
Soy consciente del hecho de que ρ A ′ no es un operador en H A . Por razones que nos llevarían demasiado lejos, estoy buscando una manera de expresar el contenido de ρ A en términos de un operador en H A B ; y yo estaba pensando en ρ A ′ como solo este operador. De todos modos, ya has sido muy útil, ¡gracias de nuevo!
Si sus razones para hacerlo son lo suficientemente buenas y le brindan bases lo suficientemente sólidas para romper la enorme degeneración (es decir, elegir un método de una infinidad), puede estar justificado para expresar el contenido de ρ A en términos de un operador en H A B ; sin embargo, no puede llamar a ese nuevo operador una matriz de densidad reducida. (Por otro lado, ¿está seguro de que en realidad no está buscando un canal cuántico de desfase completo en el | norte B ⟩ ¿base? solo digo...).
Punto tomado en relación con: el hecho de que ρ A ′ ¡No debería llamarse matriz de densidad reducida! Debo confesar que no sé qué es un canal cuántico de desfase completo, y una búsqueda superficial en Google sugiere que es complicado. ¿Alguna posibilidad de que tenga un puntero a una buena fuente introductoria?
El recurso canónico es Quantum Computation and Quantum Information de Nielsen y Chuang ; No tengo una copia conmigo, así que no sé cuán accesible cubre ese tema en particular. Si es demasiado complejo, una pregunta de recomendaciones de recursos en este sitio sería apropiada; Obtendrá mejores resultados solicitando un texto de introducción a los canales cuánticos, con el canal de desfase como ejemplo. Pero lo básico cabe en un comentario: es la operación que toma una matriz de densidad de un solo sistema ρ y pone a cero todas sus coherencias fuera de la diagonal en una base dada.
Eso suena exactamente como lo que estoy buscando. Entonces, un canal desfasador en el caso anterior sería uno que toma ρ A B a (a lo que me refiero como) ρ A ′ ? De todos modos, estoy mirando Nielsen & Chuang mientras hablamos. ¡Muchas gracias!
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