¿Cuál es el significado físico del operador de Lindblad?

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¿Cuál es el significado físico del operador de Lindblad?

Física
operador de densidad
mecánica cuántica
sistemas-cuánticos-abiertos
mecánica estadística

usuario167575

Leí el artículo de wikipedia sobre el operador de Lindblad , pero todavía no entiendo qué se supone que describe este operador. Por lo tanto, consideré establecer un ejemplo para obtener la idea.

Entonces deja $H$ sea el hamiltoniano del primero $n$ estados del átomo de hidrógeno y $V(t)$ una interacción debida a un campo eléctrico externo. Ahora, considero la evolución de las matrices de densidad en este espacio de dimensión finita por

i ρ^{'} (t) = [H - V (t), ρ (t)] + L (ρ (t)) .

$i\rho'(t) = [H-V(t), \rho(t)]+ L(\rho(t)).$ Mi pregunta es entonces: ¿Cuál es exactamente el significado físico detrás de este término adicional?

L

$L$ ?

Me refiero a la ecuación: $i\rho'(t) = [H-V(t), \rho(t)]$ definiría la propagación de una distribución inicial de estados en este $n$ -espacio dimensional de mi átomo de hidrógeno reducido bajo la influencia del campo eléctrico. Pero, ¿qué estoy modelando exactamente si además tengo esto? $L$ término allí?

bronceadomatemáticas

Está modelando las condiciones ambientales, como el desfase y la relajación.

usuario167575

@TanMath lo siento, pero esto es demasiado corto para mí. Realmente estoy buscando una explicación detallada que describa una situación experimental y describa las diferencias con el modelo sin este término.

DanielSank

¿Ayudaría decir que en su caso específico el

L

$L$ término describe cosas como la emisión espontánea? Estoy tratando de averiguar cuánto ya sabes para saber por dónde empezar en una respuesta.

usuario167575

@DanielSank sí, lo leí, ya que la emisión espontánea normalmente solo se puede describir en términos de QED pero no de QM (al menos esto es lo que escuché). Le agradecería que pudiera adaptar su respuesta a "mi hamiltoniano", como aparentemente está dispuesto a hacer.

usuario167575

@DanielSank en especial, sería interesante para mí entender por qué el operador de Lindblad describe esto y no los efectos térmicos o lo que sea.

bronceadomatemáticas

@ user167575 Lo entiendo, pero en ese momento, no pude escribir una respuesta lo suficientemente larga. He publicado una respuesta ahora y espero que sea útil para usted.

Respuestas (3)

¿Cuál es el significado físico del operador de Lindblad?

Está modelando las condiciones ambientales, como el desfase y la relajación.
@TanMath lo siento, pero esto es demasiado corto para mí. Realmente estoy buscando una explicación detallada que describa una situación experimental y describa las diferencias con el modelo sin este término.
¿Ayudaría decir que en su caso específico el $L$ término describe cosas como la emisión espontánea? Estoy tratando de averiguar cuánto ya sabes para saber por dónde empezar en una respuesta.
@DanielSank sí, lo leí, ya que la emisión espontánea normalmente solo se puede describir en términos de QED pero no de QM (al menos esto es lo que escuché). Le agradecería que pudiera adaptar su respuesta a "mi hamiltoniano", como aparentemente está dispuesto a hacer.
@DanielSank en especial, sería interesante para mí entender por qué el operador de Lindblad describe esto y no los efectos térmicos o lo que sea.
@ user167575 Lo entiendo, pero en ese momento, no pude escribir una respuesta lo suficientemente larga. He publicado una respuesta ahora y espero que sea útil para usted.

RC Drost · Answer 1

Forma general, propiedades

Una forma de Lindblad

\dot{ρ} = - i [η, ρ] + A ρ A^{†} - \frac{1}{2} A^{†} A ρ - \frac{1}{2} ρ A^{†} A

$\dot \rho = -i[\eta, \rho] + A \rho A^\dagger - \frac 12 A^\dagger A \rho - \frac 12 \rho A^\dagger A$ tiene tres propiedades importantes:

Sigue siendo una dinámica lineal, en términos de $\rho$ .
Es libre de rastros independientemente del rastro de $\rho$ . Esto significa que la suma total de los valores propios, que comienza como 1, no cambia.
Se va $\dot\rho$ Hermitiano, que es importante porque solo los operadores hermitianos tienen valores propios totalmente reales.
Por lo general, hay algunos criterios simples sobre $\hat A$ que realmente no recuerdo más, lo que asegura la positividad del Lindbladian, por lo que nunca toma los valores propios positivos a los negativos.

Su significado físico general es, por lo tanto, "dinámica no unitaria que, sin embargo, puede modelarse sin sacrificar nuestra matriz estatal".

Una interpretación a la que siempre puedes llegar

Si no está satisfecho con esa definición, el proceso no unitario más común en la mecánica cuántica es la medición , así que permítame mostrarle cómo puede interpretar cualquier forma de Lindblad como una medición cuántica continua . Esta es una forma común ^{[1] [2]} de considerar tomar algunos $\rho$ con dinámica por lo demás unitaria y acoplándola con una medición continua del sistema.

Una medida simple se ve así: traemos algunos qubit con energía hamiltoniana. $\epsilon ~c^\dagger c$ al sistema, ponerlo en su estado fundamental $|0\rangle\langle 0|$ , que podemos escribir como $c c^\dagger$ para abreviar. Asumiremos que cualquiera que sea el qubit que esté hecho de los desplazamientos con todos los operadores, etc., que actúan correctamente en el "sistema" $\rho$ . Luego, el qubit se acopla al sistema con algún término de interacción. $\hat v^\dagger c^\dagger + \hat v c$ , extremadamente genérico.

durante un tiempo $dt/2$ el sistema entonces evolucionará como

ρ C C^{†} \mapsto ρ C C^{†} - i \frac{d t}{2} ([η, ρ] C C^{†} + {\hat{v}}^{†} ρ C^{†} - ρ \hat{v} C)

$\rho ~cc^\dagger \mapsto \rho ~ c c^\dagger - i~\frac{dt}2\left([\eta, \rho] ~ c c^\dagger + \hat v^\dagger \rho ~ c^\dagger - ~\rho ~\hat v~ c\right)$ El único problema aquí es que estos últimos términos todavía están un poco "en el pasado"; así que evolucionemos cada uno de esos términos

ρ c

$\rho c$ y

ρ c^{†}

$\rho c^\dagger$ reenviar otro

d t / 2

$dt/2$ para encontrar un efecto de segundo orden:

\begin{aligned} ρ C^{†} \mapsto & ρ C^{†} - i \frac{d t}{2} ([η, ρ] C^{†} + \hat{v} ρ C C^{†} - ρ \hat{v} C^{†} C) \\ ρ C \mapsto & ρ C - i \frac{d t}{2} ([η, ρ] C + {\hat{v}}^{†} ρ C^{†} C - ρ {\hat{v}}^{†} C C^{†}) \end{aligned}

$\begin{align} \rho ~c^\dagger \mapsto& \rho ~ c^\dagger - i~{dt\over 2}\left([\eta, \rho] ~ c^\dagger + \hat v \rho ~ c c^\dagger - ~\rho ~\hat v~ c^\dagger c\right)\\ \rho ~c \mapsto& \rho ~ c - i~{dt\over 2}\left([\eta, \rho] ~ c + \hat v^\dagger \rho ~ c^\dagger c - \rho ~\hat v^\dagger~ c c^\dagger\right) \end{align}$ Luego lo medimos en el qubit

| 0 ⟩, | 1 ⟩

$|0\rangle, |1\rangle$ base y descartar la medida . Esto colapsa el qubit a cualquiera

| 0 ⟩

$|0\rangle$ o

| 1 ⟩

$|1\rangle$ y por lo tanto el

| 0 ⟩ ⟨ 1 | = c

$|0\rangle\langle 1| = c$ y

| 1 ⟩ ⟨ 0 | = c^{†}

$|1\rangle\langle 0| = c^\dagger$ términos de la matriz de densidad, así que veamos solo la

c c^{†}

$c c^\dagger$ y

c^{†} c

$c^\dagger c$ términos:

ρ C C^{†} \mapsto ρ C C^{†} - i d t [η, ρ] C C^{†} - \frac{d t^{2}}{4} ({\hat{v}}^{†} (\hat{v} ρ C C^{†} - ρ \hat{v} C^{†} C) - ({\hat{v}}^{†} ρ C^{†} C - ρ {\hat{v}}^{†} C C^{†}) \hat{v})

$\rho ~cc^\dagger \mapsto \rho ~ c c^\dagger - i~ dt [\eta, \rho] ~ c c^\dagger -\frac{dt^2}4 \left( \hat v^\dagger (\hat v \rho ~ c c^\dagger - ~\rho ~\hat v~ c^\dagger c) - ~(\hat v^\dagger \rho ~ c^\dagger c - \rho ~\hat v^\dagger~ c c^\dagger)~\hat v\right)$ Vemos que el

{\hat{v}}^{†} ρ \hat{v}

$\hat v^\dagger \rho \hat v$ términos corresponden a

c^{†} c

$c^\dagger c$ y aparentemente colapsar el sistema general algo infinitesimalmente, algo así como

| ψ ⟩ \mapsto | ψ ⟩ + \sqrt{d t} v^{†} | ψ ⟩ .

$|\psi\rangle \mapsto |\psi\rangle + \sqrt{dt} v^\dagger |\psi\rangle.$ Por lo general, los libros de texto/documentos dicen por decreto que "estamos midiendo

\sqrt{d t} {\hat{v}}^{†}

$\sqrt{dt} \hat v^\dagger$ "más o menos; esta es la interpretación real: un acoplamiento asintóticamente fuerte que no crece tan rápido como el intervalo de medición sobre el que lo estamos aplicando, de modo que obtenemos un alargamiento del estado debido al efecto Quantum Zeno .

Al "rastrear" el qubit, que es lo que hace cuando desea obtener la matriz de densidad efectiva del sistema para todos los operadores del sistema hermitiano que generan valores esperados y definen $A = \sqrt{dt/2} ~ \hat v^\dagger$ , este proceso físico corresponde a la primera ecuación que escribí. Por lo tanto, es el límite de un sistema que está acoplado a un qubit que mide cada marco de tiempo $dt$ , que está acoplado al sistema por una interacción hamiltoniana $(A c^\dagger + A^\dagger c)/\sqrt{dt/2}.$

Otros recursos

A menudo, puede derivar expresiones muy similares cuando, por ejemplo, acopla débilmente su sistema a un baño infinito de bosones, ya que también pueden causar una decoherencia constante de manera similar. Si desea algunos ejemplos, el libro de texto Quantum Measurement and Control de Wiseman puede ser de su agrado. (Creo que, por ejemplo, tenía una cavidad láser que naturalmente tendía hacia esa expresión donde $A$ era solo el aniquilador de los bosones en la cavidad, lo que explica que lleguen a un estado coherente). Si no lo tiene en su biblioteca, este artículo de arXiv , también vinculado anteriormente, cubre gran parte del mismo terreno. La palabra de moda es "trayectorias cuánticas", que también cubre simulaciones de sistemas cuánticos cuando se agregan medidas.

"que aseguran la positividad del Lindbladian" En realidad, es un generador de un mapa completamente positivo, no solo positivo. No hay criterios sobre $A$ ya que la forma de Lindblad del generador es suficiente para garantizar que el mapa sea completamente positivo y conserve la traza.
De hecho, si nos restringimos a las ecuaciones maestras locales de tiempo y markovianas, entonces la forma de Lindblad también es necesaria para que el Liouvillian sea un generador de un mapa de conservación de trazas de CP.
Pequeño detalle: el punto 3 no es del todo correcto. Es decir, la afirmación "solo los operadores hermitianos tienen valores propios totalmente reales" es incorrecta. Por ejemplo, la matriz $\begin{bmatrix}1 & -1 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ no es hermitiano, pero posee un espectro real $\{1,-1\}$ . Para aquellos que estén interesados, la realidad del espectro está garantizada para la matriz diagonalizable cuando es pseudo-hermítica con respecto a una métrica definida positiva (consulte el trabajo de Ali Mostafazadeh sobre pseudo-hermiticidad para obtener más información).
¿Se sabe si el Lindbladian es un rastro que conserva opetaror positivo?

Martín · Answer 2

Supongamos que no tiene este operador, pero solo tiene la parte hamiltoniana autoadjunta. Esto significa que tiene la ecuación de Schrödinger habitual (o la ecuación de Liouville, ya que es para la matriz de densidad)

i \dot{ρ} = [H, ρ]

$i \dot{\rho}=[H,\rho]$

y la solucion sera $\rho(t)=e^{iHt}\rho(0)e^{-iHt}$ , por lo tanto, la solución evolucionará de acuerdo con el grupo unitario (fuertemente continuo) asociado a su hamiltoniano. En otras palabras, en cualquier momento su matriz de densidad es solo una conjugación unitaria de la matriz de densidad con la que comenzó. En particular, su espectro nunca cambiará. Esto significa (por ejemplo) que si comienza con un estado puro (proyección de rango uno), siempre permanecerá en un estado puro.

El comportamiento que acabamos de describir es el de un sistema cerrado. Ahora, supongamos que no tenemos un sistema cerrado, pero tenemos un entorno en algún lugar que interactúa con nuestro sistema. En particular, es posible que desee considerar un baño y ver efectos como la termalización (lo que implica que el espectro de $\rho$ tiene que cambiar!). Por supuesto, puede intentar modelar baño + sistema con hamiltonianos y luego resolver todo el sistema, pero también puede rastrear el baño directamente y ver la ecuación de evolución del sistema restante que le interesa.

Bajo suposiciones bastante generales (homogeneidad de tiempo, Markovianidad), la ecuación que obtendrá es la ecuación de Lindblad . La parte hamiltoniana es la parte hamiltoniana de su sistema y los términos adicionales (que en muchos casos es el operador de Lindblad) describen los efectos del entorno. En otras palabras, si puede adivinar empíricamente la forma correcta del superoperador de Lindblad, no necesita preocuparse de no poder modelar todo el sistema cerrado (u olvidar parte de él). Esto es esencialmente lo que se conoce como el paradigma de los "sistemas cuánticos abiertos".

En resumen: el operador de Lindblad describe la interacción de su sistema con un entorno y modela los efectos del entorno en el modelo. Esto podría ser cualquier cosa. Por ejemplo, puede ser que te interese describir el experimento de la doble rendija con electrones. La parte hamiltoniana serían los electrones y la rendija, pero realmente no conoces todas las demás partículas que hay alrededor, no tienes una descripción cuántica de la fuente de fotones (o es complicado) y no tienes una descripción cuántica de su procedimiento de medición, etc. Pero todas estas cosas interactúan con su medición, por lo que es posible que desee tenerlas en cuenta (por ejemplo, si desea ver la decoherencia). El resultado de lo anterior es que su influencia en su sistema viene dada precisamente por el operador Lindblad.

¿Cómo encontrar el Lindbladian en una situación particular? Esta es una historia completamente diferente de la que no sé mucho...

la cosa es que no entiendo que interacción puedo capturar con este tipo? Alguien sugirió en los comentarios que podría ser una emisión espontánea. Entonces, ¿es realmente todo lo que quiero?
@ user167575 Sí, es lo que quieras, siempre que esa cosa no tenga correlaciones de tiempo.
@DanielSank, entonces, ¿por qué dijo que es una emisión espontánea en mi ejemplo, o fue solo una posible aplicación, ya que este es un efecto externo en qm que no ocurriría en un sistema cerrado?
@ user167575 Dije "cosas como emisión espontánea" :-) Es, como adivinas, solo un ejemplo de un proceso (relevante) que ocurre porque el hamiltoniano ignora algunos grados de libertad (en este caso, el campo electromagnético). Tenga en cuenta que solo puede usar la forma de ecuación maestra si suponemos que el entorno electromagnético no tiene memoria; es decir, que la radiación emitida por el átomo nunca regresa.
Cuando dice "¿Cómo encontrar el Lindbladian en una situación particular?", ¿Quiere decir cómo encontrar el operador de colapso?

bronceadomatemáticas · Answer 3

un detalle

Lo primero que me gustaría señalar es que el operador del que está hablando se llama superoperador Lindblad. Un superoperador es como un operador que actúa sobre otros operadores lineales (en este caso, la matriz de densidad).

Ecuación de Lindblad

Lo que has escrito se conoce como la ecuación de Lindblad. La ecuación de Lindblad es un ejemplo de las muchas ecuaciones utilizadas para describir la dinámica de los sistemas cuánticos abiertos. La ecuación de Lindblad tiene la forma general de

\dot{ρ} = - i [H, ρ] + [\sum γ (A ρ A^{†} - \frac{1}{2} A^{†} A ρ - \frac{1}{2} ρ A^{†} A)]

$\dot \rho = -i[H, \rho] + [ \sum \gamma (A \rho A^\dagger - \frac 12 A^\dagger A \rho - \frac 12 \rho A^\dagger A)]$ donde la parte entre paréntesis se conoce como el superoperador de Lindblad. Por lo tanto, esta ecuación se puede reescribir como:

\dot{ρ} = - i [H, ρ] + L (ρ)

$\dot \rho= -i[H, \rho] + L(\rho)$

Más detalles

El superoperador de Lindblad modela las condiciones ambientales que conforman el sistema cuántico abierto, como el desfase y la relajación. El operador $A$ se conoce como el operador de colapso y es importante para decidir lo que describe el superoperador de Lindblad. Este operador es a través del cual el entorno se acopla al sistema. Diferentes operadores de colapso describen diferentes aspectos del entorno.

$\gamma$ es una constante importante que generalmente describe la tasa de cambio de fase, la tasa de cambio de fase, la tasa de relajación, etc. Es básicamente una tasa correspondiente para el acoplamiento del entorno al sistema. También es importante para la ecuación maestra. Tenga en cuenta que siempre que esta constante sea igual a cero, obtenemos la ecuación cuántica de Liovillian para un sistema cerrado sin ningún efecto ambiental.

Una última cosa que me gustaría agregar es que puede agregar tantos superoperadores Lindblad al conmutador para describir diferentes condiciones ambientales. Uno puede describir para rephasing, otro para dephasing, etc. Todo depende del entorno del sistema cuántico.

En resumen, el superoperador de Lindblad modela un acoplamiento ambiental al sistema. Sin él, obtienes un modelo para un sistema cerrado sin efectos ambientales. Por eso es importante el término L.

Más recursos

Si desea obtener más información, debe buscar en los sistemas cuánticos abiertos. Aquí hay un enlace para empezar. Este enlace también me resultó útil cuando estaba estudiando sistemas cuánticos abiertos. Y aquí está el artículo original de Lindblad sobre la ecuación de Lindblad

El segundo enlace está caído. ¿Podría publicar el nombre de esa conferencia? Encuentro que la mayoría de los tratamientos del tema son muy confusos, y es genial tener artículos para principiantes. El primer artículo que mencionas me hizo entenderlo un poco después de semanas de tratar de entender toneladas de artículos.
¿A qué te refieres con "cambiar de fase"? Que yo sepa, no existe tal proceso que pueda modelarse con la ecuación de Lindblad. ¿Tiene alguna referencia que mencione este proceso?

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