Dar sentido a QFT

Para responder a sus preguntas específicas:

Ahora, ¿se supone que este operador hamiltoniano se aplica en la ecuación de Schrödinger en QM?

Sí. Este operador describe la evolución del estado cuántico exactamente de la misma manera que usted está acostumbrado. Es decir, el estado en cualquier momento particular es un vector en un espacio de Hilbert, digamos$\lvert\text{state}\rangle$, y el estado en algún momento$t$más tarde es$e^{-iHt}\lvert\text{state}\rangle$. Esto plantea la pregunta...

¿Cuál es el espacio vectorial sobre el que va a actuar este operador hamiltoniano?

En general, el espacio de Hilbert de una QFT es el lapso complejo del espacio de configuraciones de campo. Por ejemplo, para un campo escalar real, las configuraciones de campo son todas las funciones del espacio$\mathbb{R}^d$(no espacio-tiempo, solo espacio) para$\mathbb{R}$. Simbólicamente el conjunto de configuraciones de campo$B$es

$$B=\{\phi\,|\,\phi:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}\}.$$

ahora toma$B$ser la base formal de un espacio vectorial$\mathcal{H}$. Este es el espacio de Hilbert de QFT. Así que si$\phi_1$y$\phi_2$son dos funciones diferentes de$\mathbb{R}^d$a$\mathbb{R}$, el espacio de Hilbert incluirá estados como$\vert\phi_1\rangle$,$\vert\phi_2\rangle$, y$\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$. (Tenga en cuenta que no es el caso que$\alpha\vert\phi\rangle=\vert\alpha\phi\rangle$, y no es el caso que$\vert\phi_s\rangle+\vert\phi_2\rangle=\vert\phi_1+\phi_2\rangle$. Las combinaciones lineales como$\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$son formales . También tenga en cuenta que tomamos los diferentes elementos de$B$ser formalmente ortogonal. Así que si$\phi_1\neq\phi_2$tenemos$\langle\phi_2\vert\phi_1\rangle=0$.) Este espacio de Hilbert$\mathcal{H}$es de hecho el espacio de Hilbert sobre el que actúa el operador hamiltoniano. Entonces, por ejemplo, en algún momento el estado del universo podría ser$\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$. Entonces el estado del universo en algún momento$t$más tarde será

$$e^{-iHt}(\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle).$$ Justo como estás acostumbrado.

(Uno podría considerar tener un espacio de Hilbert de esta forma como una definición de lo que es un QFT . Después de todo, está en el nombre: una teoría cuántica de campos es solo una teoría cuántica donde los estados son superposiciones de configuraciones de campo, en lugar de, digamos, superposiciones de configuraciones de partículas. Todos los demás objetos/propiedades de los que comúnmente se habla en un curso de QFT, como lagrangianos, simetría de Lorentz, etc., son solo extras. De hecho, hay QFT adecuados sin formulaciones de Lagrangian, o sin simetría de Lorentz, y así en.)

¿Cuándo/Cómo entrará en escena el proceso de creación-aniquilación de partículas?

Ahora tenemos un espacio Hilbert$\mathcal{H}$, y tenemos una base para ello,$B$. Como con cualquier espacio vectorial, hay muchas opciones de base para$\mathcal{H}$. La base$B$resulta no ser la única (ni siquiera la más) base útil. Recuerde que en QM de una partícula, junto con la base de posición$\{\vert x\rangle\}_{x\in\mathbb{R}}$, una base común para el espacio de Hilbert es la base del estado propio del oscilador armónico:$\{\vert0\rangle,a^\dagger\vert0\rangle,a^\dagger a^\dagger\vert0\rangle,\ldots\}$. En QFT, a menudo se habla de la base del "espacio de Fock", que es análoga a la base del estado propio del oscilador armónico con el que está familiarizado de QM de una partícula.

los elementos de$B$tener la interpretación física de las configuraciones de campo. Los elementos de la base de Fock, en cambio, tienen la interpretación física de partículas. Estas dos bases para$\mathcal{H}$están, por supuesto, relacionados por algo así como una transformación unitaria. Así que los estados de la base de Fock como$a^\dagger_p a^\dagger_q\vert 0\rangle$se puede escribir como una "suma" de estados de configuración de campo como$\vert \phi\rangle$. Y los estados de configuración de campo como$\vert \phi_1\rangle$o$\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$se puede escribir como "sumas" de estados de base de Fock. En la práctica, la forma de ir y venir entre estas dos bases es a través de la relación

$$\hat{\phi}(x)=\int\!\frac{\mathrm{d}^dp}{(2\pi)^d}\,\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(a_pe^{-ip\cdot x}+a^\dagger_pe^{ip\cdot x}),$$ dónde $\hat{\phi}(x)$son los operadores de campo, cuyos operadores son los elementos de $B$son estados propios. (por ejemplo, el operador $\hat{\phi}(x)$actuando $\vert\phi_1\rangle\in B$da $\hat{\phi}(x)\vert\phi_1\rangle=\phi_1(x)\vert\phi_1\rangle.$)

Tenga en cuenta que todo lo anterior es solo un boceto aproximado. Pero es el boceto que deberías tener en tu cabeza cuando aprendas sobre QFT. Ahora un poco de editorialización. Muchos libros de texto y cursos hacen un mal trabajo al explicar estos fundamentos. De hecho, la pedagogía QFT está plagada de malos conceptos como "segunda cuantización" y afirmaciones falsas como "QFT es QM compatible con la relatividad especial", "Las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac son versiones relativistas de la ecuación de Schrödinger", "En QFT usamos la ecuación de Heisenberg, no la ecuación de Schrodinger", "Reemplazamos la función de onda de QM con el operador de campo", "No hay funciones de onda en QFT", y un millón más.

La versión rápida y sucia es que modelas todas las partículas de un tipo dado como excitaciones de una serie de osciladores armónicos cuánticos:

$$H = \int\frac{\mathrm{d}^{3}\vec{p}}{(2\pi)^3} E_{\vec{p}} \left(a_{\vec{p}}^{\dagger}a_{\vec{p}} + \frac{1}{2}\right)$$

por lo que una partícula de impulso$\vec{p}$sería el$|1\rangle$estado del oscilador armónico de momento$\vec{p}$. Nota$E_{\vec{p}}^2 - \vec{p}^2 = m^2$en unidades naturales y$E_{\vec{p}}$es una frecuencia angular por la relación de de Broglie. Para simplificar esto, defina una cosa llamada 'operador de campo' que le permite trabajar en posición en lugar de espacio de momento:

$$\phi = \int\frac{\mathrm{d}^{3}\vec{p}}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\vec{p}}}\left(a_{\vec{p}} \mathrm{e}^{-ipx} + a^{\dagger}_{\vec{p}} \mathrm{e}^{ipx}\right)$$

dónde$p$y$x$sin flechas indica cuatro vectores y cuatro posiciones. Si conecta esto y recorre el álgebra, obtiene el hamiltoniano teórico de campo estándar para un campo libre (escalar):

$$H = \int \mathrm{d}^{3}\vec{x}\left(\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)^2 + \left(\nabla\phi\right)^2 - m^2\phi^2\right)$$

El espacio de Hilbert para este hamiltoniano es justo lo que esperaría de un conjunto de osciladores armónicos:

$$\mathcal{H} = \bigotimes_{\vec{p}}\mathcal{H}_{\vec{p}}$$

dónde$\mathcal{H}_{\vec{p}}$es el espacio de Hilbert para un solo oscilador armónico, y en la expresión del hamiltoniano realmente hemos suprimido una serie incontable de$\otimes \mathbb{I} \otimes$antes y después de cada operador de escalera. A veces la gente lo llama espacio Fock, pero en realidad no es un espacio Fock. Tiene propiedades similares, pero su construcción es muy diferente [1].

Para la dinámica, usa la imagen de Heisenberg y, en particular, usa la ecuación de Heisenberg ( no la ecuación de Schrodinger):

$$\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} = i\left[H,\phi\right] \\ \frac{\mathrm{d}\pi}{\mathrm{d}t} = i\left[H,\pi\right]$$

dónde$\pi = \frac{\partial\phi}{\partial t}$es el momento conjugado del campo definido de la forma habitual a partir del Lagrangiano. De nuevo, repasando el álgebra, encontrarás que el campo obedece a la ecuación de Klein-Gordon:

$$\left(\Box + m^2\right)\phi = 0$$

Naturalmente, esta es una afirmación bastante extraña sobre el universo. ¿Por qué todas las partículas son excitación de un oscilador armónico? ¿Es solo una aproximación, como tantas cosas en la física que son modeladas por osciladores armónicos, o está sucediendo algo más fundamental?

Obviamente, la respuesta es que hay algo más fundamental. Para verlo, hay que fijarse en la estructura geométrica diferencial de la variedad de espacio-tiempo y, en particular, en las diferentes representaciones de su grupo de isotropía (el grupo de Lorentz). Al hacer esto, verá que la imagen del espacio de posición es el punto de partida natural y sorprendentemente se convierte en osciladores armónicos cuando realiza una transformada de Fourier. Esencialmente, este es el verdadero formalismo matemático de la cuantificación canónica.

Estoy feliz de entrar en los detalles técnicos de esta construcción si lo desea (explica los campos vectoriales y los campos espinores también, que el enfoque anterior no lo hace), pero es principalmente de interés matemático y filosófico en lugar de algo práctico con cálculos. (También es útil si quieres ver la unificación y esas cosas, supongo).

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[1]: En particular,$\mathcal{H}$ya viene equipado con la idea de la indistinguibilidad incorporada, porque si vas a llamar al estado$|2\rangle$de un oscilador armónico un estado de 2 partículas (donde ambas tienen el mismo impulso), ya no existe el concepto de 'cuál partícula es 1 y cuál es 2'.