Curvatura del espacio de Hilbert

Esta definitivamente no es una pregunta tonta. Si trabajamos en un espacio de Hilbert (lineal), entonces nuestro producto interno$\langle \cdot,\cdot \rangle$induce la métrica plana natural habitual (dada por$d(\psi,\phi) = || \psi - \phi ||$). Sin embargo, a menudo adoptamos el punto de vista de que nuestros estados son elementos del espacio proyectivo de Hilbert . $\mathbb CP^n$. Entonces es más natural considerar la función de distancia

Nuestra función de distancia, por supuesto, define una métrica, similar a lo que podría estar acostumbrado de la relatividad general. De hecho, es la métrica natural asociada a$\mathbb CP^n$, llamada métrica del estudio de Fubini . Además, esto tiene una curvatura no trivial . (En el caso de la esfera de Bloch,$n = 1$, coincide con la métrica esférica en$\mathbb CP^1 \cong S^2$pero para$n>1$es mucho más no trivial con, por ejemplo, la métrica que depende de la dirección en la que vaya). Esta métrica, por supuesto, también define una función de distancia (definida tomando la geodésica más corta entre dos estados), que resulta ser

La distancia Fubini-Study es operativamente muy significativa . Surge naturalmente de la siguiente manera:

1. Primero, está el resultado general en estadística de que la "distancia" natural entre dos distribuciones de probabilidad$(p_1,p_2,\cdots)$y$(q_1,q_2\cdots)$es dado por$\arccos\left( \sum_i \sqrt{p_i q_i} \right)$. Esta es la llamada distancia de Fisher. (De hecho, es muy conceptual, como lo explica aquí Alioscia Hamma en su conferencia sobre la perspectiva de la información cuántica de las transiciones de fase cuántica (en Perimeter Institute 2013) .)
2. Por supuesto que sabemos que cualquier función de onda$\psi$define una distribución de probabilidad si se nos da un observable$A$. Más exactamente$p_n = |\langle \psi| A_n\rangle|$dónde$A_n$son las funciones propias de$A$. Del mismo modo para$\phi$. Así que para un dado$A$entonces tenemos la distancia natural$\arccos\left( \sum_i \sqrt{ \left|\langle \psi| A_i\rangle \langle \phi| A_i\rangle \right|} \right)$.
3. Entonces es natural definir la distancia operativa entre$\phi$y$\psi$maximizando la expresión anterior sobre todos los observables posibles$A$. No es difícil demostrar que esto da entonces$d_\textrm{FS}(\psi,\phi)$.

La métrica/distancia del estudio de Fubini tiene muchas propiedades matemáticas agradables (por ejemplo, convierte nuestro espacio proyectivo de Hilbert en una variedad de Kahler, está relacionado con cosas divertidas como las fibraciones de Hopf, etc.). Pero también es un lenguaje natural para algunos conceptos físicos. Un ejemplo es como indiqué anteriormente: supongamos que tenemos un espacio de parámetros$\Lambda$y para cada elección tenemos un hamiltoniano. Es decir, tenemos un mapa de$\Lambda$en el espacio de hamiltonianos. Luego, a través del estado fundamental, esto define efectivamente un mapa$\Lambda \to P\mathcal H$(para cada parámetro tenemos un estado en nuestro espacio proyectivo de Hilbert). Por lo tanto, podemos retirar nuestra métrica de Fubini-Study para definir una métrica en nuestra variedad$\Lambda$. Resulta que luego mirando la curvatura de este contiene la información física completa de las transiciones de fase de nuestro modelo.

Otra situación en la que surge es en relación con el enredo . dado un estado$\psi$, podemos preguntar cuál es el estado separable más cercano cercano. Esta distancia de Fubini-Study es entonces una medida de entrelazamiento (de hecho, contiene la misma información que el valor de Schmidt más grande de nuestro estado, en caso de que eso signifique algo para usted). En términos más generales, sigue siendo una pregunta bastante abierta sobre hasta qué punto podemos relacionar el entrelazamiento y la geometría, pero parece un camino muy prometedor. Para obtener más información en esta dirección, aquí está el capítulo de libre acceso de Uhlmann y Crell sobre la geometría del espacio de estados del libro Enredo y decoherencia.

Los espacios de Hilbert son espacios vectoriales por definición. Si interpreta un espacio vectorial como una variedad (lo que puede hacer), entonces es una variedad plana.

Como han indicado los comentaristas, el espacio de Hilbert es un espacio vectorial. Una variedad es un espacio con una construcción de gráfico de atlas con mapas en regiones superpuestas que definen los coeficientes de conexión y, en última instancia, la curvatura.

Ciertamente, es posible pensar en un espacio vectorial complejo de dimensión finita que es una región localmente plana en un espacio por lo demás curvo. Este tipo de construcción múltiple holomorfa está bien establecida. Si uno quisiera subirse a su Rocinante y proponer algo de física cuántica general en un espacio finito de estados de Hilbert, es libre de hacerlo. El espacio vectorial complejo finito podría proponerse como un conjunto básico de estados que son locales en algún espacio curvo general. Por lo que sé, probablemente alguien ya haya probado esto.

Es casi seguro que no podrá hacer esto con un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Las dimensiones infinitas dificultarán los problemas de convergencia. En particular, si tuviera alguna construcción de gráfico de atlas con funciones de transición en la superposición, tendría dificultades para definir los coeficientes de conexión de manera consistente. Es por razones similares a definir una distancia en un sentido general en el espacio de Hilbert.

El espacio de Hilbert es un espacio vectorial normado complejo equipado con un producto interno, donde este producto interno proviene de la norma del espacio (la norma de un vector en el espacio de Hilbert es la raíz cuadrada del producto interno del vector consigo mismo), pero para un espacio curvo como el espacio de minkowski usaremos una métrica de minkowski que difiere de la euclidiana habitual, además también tendremos un producto interno de Minkowski que es diferente al desplegado en un espacio de Hilbert.

Espacios topológicos->espacios métricos->espacios normados->espacios de Banach->espacios de Hilbert.

El espacio de Hilbert es un espacio de dimensión infinita, por defecto es continuo, no tiene curvatura y se extiende indefinidamente en todas las direcciones. También carece de bordes donde termina el espacio, o se envuelve sobre sí mismo.

Sin embargo, agregar esas características no parece producir ningún problema o contradicción.

También tenga en cuenta que el espacio 2D con una curvatura negativa constante (a menudo llamado espacio hiperbólico) ya tiene similitudes con el espacio plano de Hilbert, además de tener mejores distancias y medidas (área/volumen, etc.).