¿Por qué es separable la proyección sobre el subespacio simétrico?

Question

¿Por qué es separable la proyección sobre el subespacio simétrico?

usuario193108

Dejar $L$ Sea el subespacio simétrico de $(\mathbb{C}^d)^{\otimes n}$ . En otras palabras $\left| \psi \right\rangle \in L$ si y si $\left| \psi \right\rangle$ es permutación-invariante. Quiero saber por qué la proyección $\Pi$ sobre $L$ es separable.

Para $d=n=2$ Sé $\Pi$ es separable por el criterio de transposición parcial positiva. Pero ¿qué hay de otros $d,n$ ?

ZeroTheHero

Tome dos partículas spin-1/2. El subespacio S=1 es simétrico pero el estado M=0 en este subespacio no es separable.

usuario193108

@ZeroTheHero. Lo siento.

Π = | 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 11 ⟩ ⟨ 11 | + 1 / 2 (| 01 ⟩ + | 10 ⟩) (⟨ 01 | + ⟨ 10 |)

ZeroTheHero

Lo siento, no entiendo tu pregunta. Separable generalmente significa separable en términos de la primera y la segunda partícula.

| 01 ⟩ + | 10 ⟩ = | 0 ⟩ | 1 ⟩ + | 1 ⟩ | 0 ⟩

$\vert 01\rangle +\vert 10\rangle=\vert 0\rangle\vert 1\rangle+\vert 1\rangle\vert 0\rangle$ claramente no es separable porque no es de la forma

| a ⟩ | b ⟩

$\vert a\rangle\vert b\rangle$ . ¿Por qué aplicar algún tipo de criterio de transposición parcial a un operador de proyección?

ZeroTheHero

Sí, lo siento, arruiné mi comentario. Todavía no entiendo su pregunta de por qué quiere hablar sobre la separabilidad de un operador de proyección.

usuario193108

@ZeroTheHero. Matemáticamente, un estado cuántico es solo un operador. Por normalización,

Π / 3

$\Pi/3$ es un estado cuántico legítimo. Así que podemos preguntar por qué

Π / 3

$\Pi/3$ es un estado separable si no se siente muy cómodo con mi pregunta original.

glS

@ user193108 Esto parece muy relacionado con el teorema cuántico de Finetti

usuario193108

@glS ¿Podría darnos más pistas?

Respuestas (1)

¿Por qué es separable la proyección sobre el subespacio simétrico?

Tome dos partículas spin-1/2. El subespacio S=1 es simétrico pero el estado M=0 en este subespacio no es separable.
@ZeroTheHero. Lo siento. $\Pi = \left| 00 \right\rangle\left\langle 00 \right| + \left| 11 \right\rangle\left\langle 11 \right| + 1/2 (\left| 01 \right\rangle +\left| 10 \right\rangle )(\left\langle 01 \right|+\left\langle 10 \right|)$ en tu ejemplo Pero es de hecho separable.
Lo siento, no entiendo tu pregunta. Separable generalmente significa separable en términos de la primera y la segunda partícula. $\vert 01\rangle +\vert 10\rangle=\vert 0\rangle\vert 1\rangle+\vert 1\rangle\vert 0\rangle$ claramente no es separable porque no es de la forma $\vert a\rangle\vert b\rangle$ . ¿Por qué aplicar algún tipo de criterio de transposición parcial a un operador de proyección?
Sí, lo siento, arruiné mi comentario. Todavía no entiendo su pregunta de por qué quiere hablar sobre la separabilidad de un operador de proyección.
@ZeroTheHero. Matemáticamente, un estado cuántico es solo un operador. Por normalización, $\Pi/3$ es un estado cuántico legítimo. Así que podemos preguntar por qué $\Pi/3$ es un estado separable si no se siente muy cómodo con mi pregunta original.
@ user193108 Esto parece muy relacionado con el teorema cuántico de Finetti

Norberto Schuch · Answer 1

La dualidad de Schur-Weyl afirma que $(\mathbb C^d)^{\otimes N}$ se puede descomponer en una suma directa

⨁_{norte} {PAG}_{norte} \otimes R_{norte}

$\bigoplus_n P_n \otimes R_n$ en el que el grupo de permutación de la

N

$N$ copias y

U (d)

$\mathrm{U}(d)$ actúan irreductiblemente, respectivamente. En particular, si comenzamos con un estado completamente simétrico

| ψ ⟩ = \otimes^{norte} | ϕ ⟩

$|\psi\rangle = \otimes^N|\phi\rangle$ y considerar

\begin{matrix} (1) & Π = \int d tu {tu}^{\otimes norte} | ψ ⟩ ⟨ ψ | ({tu}^{†})^{\otimes norte}, \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq} \Pi=\int \mathrm{d}U U^{\otimes N}|\psi\rangle\langle\psi|(U^\dagger)^{\otimes N}\ , \tag{1} \end{equation}$ El Lema de Schur nos dice que

Π

$\Pi$ es el proyector en el espacio totalmente simétrico (ya que partimos de un estado simétrico y

U^{\otimes N}

$U^{\otimes N}$ actúa irreductiblemente sobre él). Por lo tanto, la ecuación. (1) nos da una descomposición separable de

Π

$\Pi$ , y por lo tanto,

Π

$\Pi$ es un estado separable (hasta la normalización).

Gracias. Parece que hay un error tipográfico. $(\mathbb{C}^d)^{\otimes n}=\bigoplus_n P_n\otimes R_n$ . Por cierto, ¿podemos decir algo sobre la separabilidad de un operador que esté lo suficientemente cerca de $\Pi$ ? Digamos, si perturbamos $\Pi$ por un operador hermitiano $\epsilon$ .
La descomposición de $(\mathbb{C}^d)^{\otimes n}$ debe ser una suma directa de los productos tensoriales.

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