¿Por qué usamos el espacio dual en algunas circunstancias y el producto interno en otras?

En álgebra lineal de pregrado, el concepto de producto escalar, generalizado al producto interno en un espacio de producto interno, se introduce bastante temprano como una forma de multiplicar 2 vectores para obtener un escalar.

Sin embargo, a medida que uno continúa con un plan de estudios de pregrado en física, esta noción se reemplaza en gran medida por la de un espacio dual, y el producto interno de los vectores se reemplaza por la noción de multiplicar vectores con un miembro de su espacio dual.

Me parece que se trata de dos realizaciones de la misma motivación: multiplicar 2 vectores para obtener un escalar. Entiendo que existen diferencias matemáticas formales entre los dos, y el teorema de representación de Riesz proporciona un mapa entre ellos, pero estoy luchando por saber por qué necesitamos que ambos existan para empezar.

Para ayudarme a comprender las diferencias conceptuales fundamentales entre los dos, en física, ¿por qué "multiplicar 2 vectores juntos" toma la forma del producto interno en algunas circunstancias y espacios duales en otras?

Por ejemplo, he visto la multiplicación bra/ket representada tanto por un producto interno como por un formalismo de espacio dual, y parece que las estructuras son algo redundantes si tienen la misma utilidad.

La relatividad general parece preferir el uso de espacios duales, pero no me queda claro por qué es necesaria la estructura adicional y, por ejemplo, por qué no podemos interiorizar vectores de productos en un punto con otros miembros del mismo espacio vectorial para lograr el mismo físico. resultados en lugar de formalizar la física en una construcción espacial dual.

Estoy seguro de que hay más ejemplos, donde la física necesita un concepto de "multiplicar 2 vectores juntos" y la comunidad decide decir que el segundo operando vive en su propio espacio vectorial dual, en lugar de "compartir" un espacio de producto interno con el primer operando. ¿Por qué es esto natural? ¿En qué casos una representación de esta idea es más "poderosa" o "natural" que la otra?

Respuestas (3)

En los espacios de Hilbert, tiene razón en que el teorema de representación de Riesz (RRT) le permite usar productos internos y espacios duales indistintamente; sin embargo, hay algunas razones por las que el espacio dual puede ser preferible o incluso necesario.

Ejemplo 1 : En Mecánica Cuántica se puede asociar un estado puro con un elemento | ϕ ⟩ de un espacio de Hilbert H , y su sí/no naturalmente correspondiente observable con un elemento ⟨ ϕ | del doble H ∗ . La probabilidad de un resultado positivo para una medida de ⟨ x | en el estado | ψ ⟩ es dado por | ⟨ x | ψ ⟩ | 2 . Sin hacer referencia al dual, alternativamente podríamos usar los símbolos x , ψ ∈ H , y el mismo cálculo se representaría utilizando el producto interior | ( x , ψ ) | 2 . Ahora, sin embargo, tenemos que explicar lo que esto significa, ya que ambos símbolos en el producto interno se interpretan naturalmente como estados, y parece que no hay medidas involucradas. En otras palabras, tenemos dos vectores que tienen diferentes interpretaciones físicas y el uso del dual los distingue perfectamente. Sin mencionar todas las demás ventajas simbólicas de la notación de Dirac, que se basan matemáticamente en el uso del espacio dual.

Ejemplo 2 : en un espacio de producto interno de dimensión infinita V (que no es un espacio de Hilbert, por lo que no podemos invocar el RRT) el dual V ∗ en realidad puede ser más grande que el espacio original, V ⊂ V ∗ (en el sentido de una incrustación isomorfa). En la Mecánica Cuántica, este hecho se usa para construir algo llamado Espacio de Hilbert Rigged en el que ciertos estados viven en el dual pero no tienen contrapartes en el propio espacio del producto interno. Entonces, solo se pueden calcular probabilidades evaluando un elemento dual. (Así es como las funciones Dirac Delta pueden manejarse rigurosamente).

Ejemplo 3 : En la teoría de la relatividad, las cantidades físicas son tensores generales, que se definen propiamente como funcionales multilineales de la forma:

τ : V ∗ × V ∗ ⋯ × V ∗ × V × V ⋯ × V → R
Mientras que una forma bilineal correspondiente a un 'producto escalar' de vectores es ciertamente un tensor (¡y uno muy importante!), la mayoría de los tensores no se reducen a reglas tan simples. Tarde o temprano, tienes que acostumbrarte a trabajar con duales.

Un espacio de producto interno es más que solo el espacio y es dual de la siguiente manera:

  • En un espacio de producto interno, uno puede multiplicar sin ambigüedad dos vectores para formar un escalar usando el producto interno. Esto proporciona un mapa canónico del espacio a su dual,
    V ∋ v ⟼ ω = ⟨ v , ⋅ ⟩ ∈ V ∗ .
  • Por otro lado, si solo tiene un espacio y su dual, no existe tal identificación (por ejemplo, la base dual no proporciona uno). Por lo tanto, todo lo que puede hacer es aplicar elementos de V ∗ a elementos de V para obtener escalares, pero no puedes tomar elementos de V para formar un escalar.

(Como de costumbre, hay sutilezas cuando se trata de espacios de infinitas dimensiones, que paso por alto aquí).

Por un lado, un VS siempre tiene un VS dual algebraico , y un VS topológico siempre tiene un VS dual continuo, pero no es necesariamente un espacio de producto interno .

Por otro lado, la norma de un espacio de producto interno puede ser un observable físico.

¿Por qué usamos el espacio dual en algunas circunstancias y el producto interno en otras?
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