¿Cuál es el significado físico de un espacio de Hilbert "completo" en QM?

¿Qué significa la palabra "completo" desde el punto de vista físico? No entiendo qué significa físicamente decir que un espacio de Hilbert es un espacio vectorial completo .

Similar a los números reales.
Creo que un punto es que necesita la integridad para obtener un cálculo espectral (resp. funcional) razonable ... En física, los espacios vectoriales con productos internos a veces se denominan "espacios pre-hilbert" para enfatizar que son como espacios de hilbert pero sin la integridad de un espacio de hilbert, tal vez podría buscar en Google espacios pre-hilbert y mecanismos cuánticos y probablemente encontrar algunas referencias sobre qué tan lejos puede llegar usando solo espacios pre-hilbert ...
@student, no puedes llegar muy lejos trabajando solo en un espacio anterior a Hilbert. La completitud de un espacio de Hilbert se utiliza para construir proyecciones ortogonales, lo que a su vez implica que un espacio de Hilbert es isomorfo a su espacio dual (continuo). Ver terrytao.wordpress.com/2009/01/17/254a-notes-5-hilbert-spaces , especialmente la Proposición 1, los Ejercicios 12 y 13, y el Teorema 1. La completitud se usa en la prueba de la Proposición 1, que es donde todo otro viene de.

Respuestas (5)

Para dar un ejemplo donde la convergencia de las sucesiones de Cauchy es importante: la evolución temporal se calcula normalmente como

| ψ ( t ) ⟩ = mi i ℏ − 1 H ^ ⋅ t | ψ 0 ⟩
ahora, la exponencial de un operador se define 1 por
mi A ^ = ∑ i = 0 ∞ A ^ i i !
donde la suma a su vez está definida por
( ∑ i = 0 b A ^ i i ! ) | ψ ⟩ = ∑ i A ^ i | ψ ⟩ i ! =: S b
que es simplemente una superposición de vectores, no hay problema, para sumas finitas . Pero si la suma es infinita, se define como el límite de la sucesión de sumas parciales. ¿Es una sucesión de Cauchy? Se puede demostrar bajo suposiciones bastante razonables (esencialmente, energía finita) que lo es. Entonces, en un espacio de Hilbert, normalmente tenemos una buena expresión bien definida para la evolución del tiempo, que obviamente es bastante útil si desea verificar cualquier modelo teórico con resultados experimentales. En un espacio de producto interno que no sea de Hilbert, no podemos estar seguros de que el resultado esté bien definido. ¡Malo!

Otra cosa que me imagino que es un gran problema: el teorema de representación de Riesz no se sostiene en el espacio del producto interno general. Aunque este teorema rara vez se menciona explícitamente en física, es la razón por la que puedes hacer muchas cosas que a menudo se dan por sentadas; en particular, se requiere para la unicidad del adjunto hermitiano. Eso, espero, podría causar estragos considerables si está trabajando con cosas como operadores de escalera.

1 Como comenta V Moretti, esta definición de exponencial no está realmente bien definida para operadores ilimitados. Sin embargo, los físicos suelen utilizarlo... y, de hecho, está bien si se toma simplemente como una forma abreviada de la expresión aplicada a un estado adecuado.

¿Qué quiere decir exactamente con energía finita, que la energía tiene un límite inferior y superior o simplemente que se conserva?
@Thomas: límite inferior y superior, como en, no existe una secuencia de estados ψ i en el Espacio de Hilbert para el cual H ^ | ψ i ⟩ se acerca al infinito. En realidad, eso no se garantiza en absoluto: los operadores de momento son ilimitados: puede obtener resultados arbitrariamente altos a partir de estados normalizados pero de oscilación rápida. Pero es el tipo de cosas en las que podemos argumentar con confianza sobre bases físicas que en realidad solo estamos tratando con un subespacio de energía finita del espacio matemático de Hilbert.
@leftaroundabout La definición de exponencial de un operador que proporcionó no funciona, en general, si el operador (que se supone que es al menos normal) no está acotado. En cambio, la definición correcta surge del teorema espectral. Sin embargo, es cierto que si ψ , espectralmente descompuesto con respecto a un operador autoadjunto A , define un conjunto acotado en el espectro de A (como parece que estás diciendo), entonces
mi i A ψ = ∑ norte = 0 + ∞ i norte norte ! A norte ψ .
Todo en un espacio de Hilbert.
@V.Moretti: buen punto. Aunque sospecho que a la mayoría de los físicos no les importaría, y simplemente fingirían que todos los operadores están acotados...
Sí, creo que sí. Sin embargo, en QM casi ningún operador está acotado. La acotación es equivalente a la acotación del espectro, que a su vez, es equivalente a la acotación del conjunto de valores que toma un observable. ¡Casi todos los observables naturales son, por lo tanto, ilimitados, a pesar de las creencias de los físicos y solo por razones físicas!

Hay muchas propiedades físicas fundamentales que no se mantendrían si se eliminara el requisito de integridad. En primer lugar, el teorema espectral para operadores autoadjuntos no se cumpliría. Entonces, un observable (supongamos que se trata de observables con espectro de punto puro) no tendría un conjunto completo de estados propios. Hay una idea fundamental en la física cuántica de que, dado un estado observable y puro, el estado siempre se puede realizar como una superposición coherente de estados donde se define el observable. Sin completitud, esta idea básica de la teoría cuántica ya no sería válida.

Es una idealización que permite hacer cálculos que de otro modo serían imposibles, y de esta manera explica el poder de la mecánica cuántica.

Es el mismo tipo de idealización que hace que los físicos trabajen con números reales en lugar de números racionales, aunque todos los números brutos medidos son racionales. Sin embargo, los números racionales carecen de la mayoría de las propiedades útiles de los números reales. Restringido a racionales, ni siquiera tienes una función exponencial o trigonométrica. Así, los números racionales sólo pueden expresar una física muy limitada.

De la misma manera, trabajar en un espacio de Hilbert permite hacer muchas operaciones (como hablar de mi i t H ) que no tienen sentido en un espacio vectorial incompleto.

Los espacios de Hilbert (o sus variantes, como los espacios de Hilbert manipulados) son, por lo tanto, absolutamente necesarios para tener precisión conceptual en la mecánica cuántica.

Creo que su pregunta es "¿por qué la mecánica cuántica no se formuló en espacios vectoriales normados?" es decir, "¿por qué se requiere el criterio de completitud?"

No sé una respuesta rigurosa, pero parece razonable por la siguiente razón:

Completitud significa que toda secuencia de Cauchy de elementos de H converge a un elemento de H. El postulado QM dice que los estados físicos están representados por vectores (estrictamente hablando, rayos) en H, por lo que si tuviera una secuencia infinita de estados físicos que se estuvieran poniendo " físicamente" cada vez más cerca, en el sentido de que las características de las cantidades físicas codificadas en los estados estaban convergiendo, entonces parece razonable exigir que aquello a lo que están convergiendo sea también un estado físico. Asignando esto a H, entonces el criterio de completitud de Cauchy se encargará de esto.

Sin embargo, la razón por la que me preocupa que esta sea una respuesta un poco débil es que no todos los elementos de H necesariamente representan estados físicos realizables. Por ejemplo, las sumas de vectores en diferentes sectores de superselección ciertamente no lo hacen. Entonces, tal vez el criterio del espacio de Hilbert donde cada secuencia de Cauchy converge a un elemento de H es suficiente pero no necesario.

Si puedes aceptar que los reales son más físicos que los racionales, entonces, por analogía, un espacio vectorial completo es más físico que uno incompleto; todos los espacios de dimensión finita están completos por construcción, uno de dimensión infinita no lo está y requiere completarse a mano.

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