Prueba de la ortogonalidad de las funciones de onda del átomo de hidrógeno

¿Cómo se puede probar formalmente la ortogonalidad de las funciones de onda del átomo de hidrógeno?

Entiendo cómo la parte angular es ortogonal, y sé que la parte radial es ortogonal iff el número cuántico yo es el mismo para ambos términos radiales, es decir, tenemos R norte , ℓ , R norte ′ , ℓ (ver publicación relacionada ). Y como esto viene dado por la ortogonalidad angular, el resultado es el siguiente.

Lo que me falta es la prueba formal, y también alguna referencia sobre el hecho de que al integrar la parte radial, las dos Laguerres tienen argumentos diferentes, es decir, la integral no es

∫ 0 ∞ ρ α mi − ρ L norte ( α ) ( ρ ) L metro ( α ) ( ρ ) d ρ
como en Wikipedia, pero cada función de onda proporciona una diferente ρ dependiendo del nivel de energía norte a través de ρ = 2 r norte a 0 . Esto parece traducirse en un cambio no trivial en la expresión de la integral.

También estaba mirando la fórmula de Rodríguez, y parece que la diferencia en los argumentos también se traduce en un cambio no trivial de estos términos.

Es por eso que estoy buscando una prueba completa y detallada de la ortogonalidad de la parte radial, asumiendo ℓ = ℓ ′ de los armónicos esféricos, que no pude encontrar simplemente buscando en Google o a través de nuestras notas de clase.

Que yo sepa, y precisamente porque tienen argumentos diferentes, es casi imposible probar la ortogonalidad directamente. En cambio, uno confía en las propiedades de las soluciones a los problemas de Sturm-Liouville.
@MichaelSeifert buena referencia.
@ZeroTheHero, ¿quieres decir que la solución para un operador hermitiano forma un conjunto completo y cosas así?
@Yoni, sí. La referencia de MichaelSeifert es muy, muy agradable, pero en 12 páginas confirma que probar esto usando técnicas "simples" es bastante difícil.
Así es como lo recuerdo y para citar Wiki: "La ortogonalidad se deriva del hecho de que la ecuación de Schrödinger es una ecuación de Sturm-Liouville (en la formulación de Schrödinger) o que los observables están dados por operadores hermitianos (en la formulación de Heisenberg)" . En mi humilde opinión, buscar pruebas directas de ortogonalidad para funciones complicadas como las funciones de onda del átomo de hidrógeno parece una pérdida de tiempo bastante inútil. Como soluciones a las ecuaciones de Sturm-Liouville, son intrínsecamente ortogonales.
Se puede hacer una demostración simple de ortogonalidad en las funciones de onda de una caja de potencial cero 1D o 2D (1 partícula).

Respuestas (2)

Tiene un punto no trivial en que la relación de ortogonalidad para los polinomios de Laguerre tal como aparecen en las funciones propias hidrogenadas,

∫ 0 ∞ L norte − ℓ − 1 ( 2 ℓ + 1 ) ( 2 r / norte ) L norte ′ − ℓ − 1 ( 2 ℓ + 1 ) ( 2 r / norte ′ ) mi − norte + norte ′ norte norte ′ r r 2 ℓ + 2 d r = 0 para  norte ≠ norte ′ ,
es estructuralmente muy diferente a la relación de ortogonalidad estándar,
∫ 0 ∞ L norte ( 2 ℓ + 1 ) ( r ) L norte ′ ( 2 ℓ + 1 ) ( r ) mi − r r 2 ℓ + 1 d r = 0 para  norte ≠ norte ′ ,
como se proporciona en, por ejemplo, Wikipedia o el DLMF .

Como se señaló en los comentarios, la ortogonalidad de las funciones de onda hidrogenadas se deriva directamente de la teoría general de Sturm-Liouville (son funciones propias de un operador hermitiano de Sturm-Liouville con diferentes valores propios y eso es todo lo que necesita) para que una prueba elemental de la la relación de ortogonalidad alterada parece una pérdida de tiempo.

Sin embargo, eso obviamente no ha impedido que otras personas lo busquen; un ejemplo adecuado parece ser

Una Ortogonalidad del Polinomio de Laguerre y el Átomo de Hidrógeno. Charles F. Dunkl. arXiv:math-ph/0011021 .

Se puede demostrar que el operador H = Δ + 1 r es esencialmente autoadjunto en un dominio que contiene las funciones propias ψ norte yo metro . Esto significa en particular que es simétrico para cualquier ψ norte yo metro y ψ norte ′ yo metro . A partir de esto, la normalidad de los diferentes espacios propios sigue como siempre, como para cualquier operador simétrico o autoadjunto.

Los argumentos involucrados son un poco tediosos, pero en su mayor parte solo usan técnicas básicas de espacio de Hilbert. Véase, por ejemplo, el capítulo 9 del libro de mecánica cuántica de Brian C. Hall, especialmente las secciones 9.8 y 9.9.

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