Desde un punto de vista matemático puro, la respuesta es negativa. Como probablemente sepa, las funciones de onda son todas las funciones$\psi$de, digamos,$R$a$C$tal que$|\psi(x)|^2$tiene integral finita (Lebesgue), a saber$\psi$pertenece al espacio de Hilbert$L^2(R)$. Uno puede simplemente construir funciones que pertenecen a$L^2(R)$y que oscilan con oscilaciones cada vez mayores tan pronto como$|x|\to\infty$pero las oscilaciones se soportan en conjuntos cada vez más pequeños para preservar la$L^2$condición. (Es posible arreglar todo para mantener la normalización$\int |\psi(x)|^2 dx =1$.) Estas funciones de onda no desaparecen asintóticamente. Sin embargo, desde el punto de vista físico parece muy difícil preparar un sistema en tal estado, incluso si no conozco ninguna prueba de imposibilidad.

Aquí hay un poco de un desayuno canino de salvedades y cositas para acompañar la respuesta bastante definitiva de VM9 .

Otro ejemplo patológico

Uno puede construir incluso más ejemplos patológicos que los de VM9 : considere la función

Sin embargo, esta función generalmente se considera, a los efectos de$\mathbf{L}^2(\mathbb{R})$, siendo lo mismo que la función$\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{C};\;\psi(x) = 0$: uno suele considerar, estrictamente hablando, clases de equivalencia de funciones donde consideramos$\psi_1\sim\psi_2$si la medida de Lebesgue$\mu(\{x\in\mathbb{R}: \psi_1(x) \neq \psi_2(x)\})$del conjunto$\{x\in\mathbb{R}: \psi_1(x) \neq \psi_2(x)\}$es cero Llamamos funciones que no son iguales pero equivalentes por la relación$\sim$"igual en casi todas partes". Debemos interpretar la completitud del espacio de Hilbert de esta manera: la expansión de la función de Hermite de mi patológico$\psi$es lo mismo que la expansión para$\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{C};\;\psi(x) = 0$. Además, esta equivalencia tiene mucho sentido físicamente: hay cero probabilidad de observar una partícula en un subconjunto$U\subset\mathbb{R}$si una función de onda$\psi$es cero casi en todas partes en ese subconjunto, es decir , igual a cero excepto dentro de un conjunto$V\subset U$de medida cero ($\mu(V)=0$).

Estados no normalizables

A menudo también queremos pensar en estados no normalizables : por ejemplo, el estado$\psi(x) = e^{i\,k\,x}$en coordenadas de posición, el "estado propio de impulso" con impulso conocido con precisión$\hbar\,k$pero totalmente deslocalizado en coordenadas de posición, o para un segundo ejemplo importante$\psi(x) = \delta(x)$: el delta de Dirac, en el sentido distribucional. Entonces podemos construir estados normalizables a partir de superposiciones continuas de estos estados: la transformada de Fourier, por definición, resuelve cualquier$psi\in\mathbf{L}^2(\mathbb{R})$en una superposición de estados propios de impulso deslocalizados$e^{i\,k\,x}$. Para razonar y manejar adecuadamente estos estados no normalizados, debemos recurrir a la idea del espacio de Hilbert amañado y pensar en la clase de distribuciones temperadas en lugar de$\mathbf{L}^2(\mathbb{R})$; vea mi respuesta aquí y también esta aquí para más detalles.

Condiciones para la Normalizabilidad

Traigo a su atención las condiciones bajo las cuales obtenemos estados propios normalizables. Vea el resumen conciso de QMechanic aquí ; los estados propios normalizables corresponden necesariamente al espectro discreto de un operador y esto a menudo se reduce a si un operador puede interpretarse de alguna manera como actuando en un espacio de fase compacto .

Otra familia ordenada de estados propios normalizables proviene, de todos los lugares, del campo de la teoría de la guía de ondas ópticas, donde uno busca modos propios ligados (estados normalizables) de la ecuación de Helmholtz.$(\nabla^2 + k^2 n(x,y,z)^2)\psi = \beta^2 \psi$. Aquí$n(x,y,z)$es el perfil del índice de refracción de una guía de ondas. Tenemos el siguiente resultado: no puedo poner mi mano sobre la prueba en este momento, pero la buscaré.

Teorema Suponga que el perfil del índice de refracción$n:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$es tal que$n(x,y,z)\to n_0$como$\sqrt{x^2+y^2+z^2}\to\infty$. Luego hay modos enlazados$\psi\in\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^3)$de la ecuación$(\nabla^2 + k^2 n(x,y,z)^2)\psi = \beta^2 \psi$si y solo si:

y los valores propios discretos$\beta$mentira en el intervalo$[n_0,\,\max(k \,n(x,y,z))]\qquad\square$.

Resultados análogos para$\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^2)$( es decir , para una guía de ondas invariante traslacionalmente, donde aplicamos el teorema al perfil transversal 2D$n(x,y)$).

Este teorema claramente se puede aplicar de inmediato al hallazgo de funciones propias discretas de la ecuación de Schrödinger: simplemente reemplazamos$k^2 n(x,y)^2$por$E_{max} - V(x,y,z)$, donde$E_{max}$es un exceso de energía de los valores propios de energía que buscamos. Los valores propios discretos estarán entre$V(\infty)$y$E_{max}$si y solo si$E_{max}$es lo suficientemente grande como para$\int_{\mathbb{R}^3} (E_{max} - V(x,y,z)) \,{\rm d}x\,{\rm d} y\, {\rm d} z> 0$. Entonces, el teorema puede darnos condiciones suficientes para estados propios normalizables y encontrar límites inferiores para la energía del estado fundamental.

Resultados similares muestran que si$V(x,y,z)$es finito para todos$\mathbb{R}^3$pero$V\to+\infty$como$\sqrt{x^2+y^2+z^2}\to\infty$, entonces hay muchos estados propios numerables normalizables y abarcan todo el espacio de Hilbert$\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^3)$. El oscilador armónico cuántico entra en esta categoría (al igual que la fibra óptica con perfil de índice de refracción parabólico invertido en la teoría de la guía de ondas ópticas).

Comportamiento en Regiones Clásicamente "Prohibidas"

Preguntas sobre posibilidades cuánticas como:

... en teoría, es posible que un ser humano atraviese un muro de hormigón (aunque la probabilidad de que esto suceda es, por supuesto, tan cercana a cero que es insignificante). No necesariamente cuestiono que tales cosas sean posibles, pero quiero saber cuáles son las limitaciones.

Aquí podría ser esclarecedor considerar el comportamiento de la función de onda en regiones clásicamente prohibidas. Un buen sistema para resolver es encontrar los estados propios de energía normalizables para el potencial de pozo cuadrado finito . Mire la página Wiki y preste especial atención a que en la región clásicamente prohibida, la función de onda siempre es evanescente en las regiones clásicamente prohibidas: es decir, es distinta de cero allí, pero decae exponencialmente a medida que aumenta la profundidad en la región clásicamente prohibida .. Lo que esto significa en la práctica es que la probabilidad de encontrar la partícula a cualquier distancia en la región clásicamente prohibida rápidamente se vuelve increíblemente pequeña después de una penetración de unas pocas longitudes de onda. Prácticamente, la región clásicamente prohibida también está bastante prohibida cuánticamente, a menos que estemos hablando de penetraciones realmente pequeñas. Esta es la razón de la amplia gama de vidas medias radiactivas entre los elementos: una barrera potencial verdaderamente pequeña para la descomposición significa que la descomposición puede ocurrir rápidamente, pero incluso un aumento modesto en la barrera potencial provoca una caída de muchos órdenes de magnitud en la tasa de descomposición.