cuestión de identidad

Conversando con alguien tratando de convencerme de que 2 y 1+1 no son lo mismo.

Su argumento fue que aunque 1+1 = 2, en realidad son diferentes porque la notación es diferente. Vemos "1+1" en un lado del signo igual y "2" en el otro. Por lo tanto, 1+1 no es igual a 2.

No estoy seguro, pero este razonamiento parece falaz. Simplemente no tengo una formación lo suficientemente sólida en filosofía para señalar de manera precisa exactamente por qué es así.

Ve a leer Naming and Necessity (Saul Kripke). En serio, todo el mundo debería leerlo: es un libro pequeño, pero lleno de cosas muy interesantes sobre este tema.
Esto parece ser sólo una cuestión de semántica. Bajo la igualdad numérica, "1+1" y "2" son iguales. Como fragmentos de texto ("cadenas" es como los llaman los programadores), son diferentes, porque los caracteres utilizados son diferentes. Entonces, depende del contexto.

Respuestas (4)

Esta es una buena pregunta que me recuerda el monumental artículo de Frege Sobre el sentido y la referencia .

Tomando la visión clásica de Frege, decimos que '2' y '1 + 1' se refieren a la misma cosa (es decir, el número 2), pero que tienen un sentido diferente . Así que en un aspecto son lo mismo, pero en otro no lo son.

Una de las razones de Frege para esta distinción es que afirmar una identidad como '1 + 1 = 2' es informativo, mientras que '2 = 2' no lo es. Algunos ejemplos menos triviales son: '47 + 119 = 166', 'Barack Obama = El 44º presidente de EE.UU.'.

Este es el enfoque correcto. Para los lenguajes naturales, el ejemplo clásico es Hesperus y Phosphorus (también debido a Frege, creo). Esta diferencia es obvia desde el punto de vista computacional: solo imagine 2 = x, donde x es una expresión monstruosa que tarda 10000 años en calcularse, que da como resultado 2.

Sí, la famosa dicotomía de la igualdad por intensión y la igualdad por extensión. La forma más fácil de explicar esta dicotomía es, por lo tanto,

  • la intensión de igualdad se refiere al significado de las cosas que equiparas, 4/2 es igual a 2 porque quieres que sean iguales en significado
  • la igualdad en extensión es la igualdad a través del cálculo, también se le llama igualdad proposicional

Cuidado porque también existe la dicotomía igualdad-identidad. Lo mejor es que estas nociones difieren con el subcampo matemático en el que trabajas...

Ves claramente que 1+1 no es lo mismo en 4/2 que difiere igualmente de 2. El trabajo involucrado en cada una de las ilustraciones de 2 no es el mismo, el razonamiento no es el mismo. Por supuesto, algunas personas no pueden soportar que 2, 1+1 y 4/2 difieran, porque odian contextualizar el resultado, a través del método para obtener el resultado. Estas personas que odian esta situación anhelan algún absoluto del cual afirman que el método para obtener el resultado es irrelevante para obtener el resultado. Lo que les importa es el resultado y nada más.

Ahora, veamos qué sucede una vez que tomas en cuenta el método. Una vez que dices que el método importa, adjuntas al resultado 2 el método para obtener este 2. Esto te trae el concepto de equivalencia de prueba (del número 2): la prueba más fácil del número son los datos del número 2 ; te muestras 2 y esta es la forma más fácil de probar 2. Pero tienes muchos otros algoritmos, otros métodos para obtener el número 2 y estos métodos te llevan a la noción de equivalencia de pruebas.

Los dejo habitar en este lío de extensión e intensión por la igualdad y la identidad. https://ncatlab.org/nlab/show/equality https://en.wikipedia.org/wiki/Extensionality

Ver Igualdad :

En matemáticas, la igualdad es una relación entre dos cantidades o, más generalmente, dos expresiones matemáticas , afirmando que las cantidades tienen el mismo valor, o que las expresiones representan el mismo objeto matemático .

En matemáticas, cuando afirmamos la igualdad: 1+1=2 no estamos afirmando que las dos cadenas de símbolos 1+1 y 2 sean iguales, sino que estamos afirmando que los objetos nombrados respectivamente con " 1+1 " y " 2 son el mismo objeto: el número dos.

No. Estamos afirmando que 1+1 y 2 se evalúan como el mismo número. 1+1 se refiere a una expresión, al igual que 2. Pero estas expresiones no son lo mismo, por ejemplo, 2 es atómico, mientras que 1+1 no lo es.
@Taemyr: en la lógica moderna, los términos 1 y 2 son constantes individuales y la expresión 1+1 es un término construido a partir de la constante 1 y la función binaria + : ambos denotan objetos del dominio de la interpretación. La oración 1+1=2 es verdadera, de acuerdo con la semántica de la lógica fo, exactamente cuando ambos términos denotan el mismo objeto.
Sí. Pero la expresión es una cosa separada de la cadena. Y es la expresión a la que se refiere la cadena. Para llegar a la igualdad, debe invocar el modelo a (en el caso de la aritmética FOL de su comentario) en el que puede evaluar la expresión.

Según la forma en que OP formuló la pregunta: si consideramos las ecuaciones por "valor simbólico" literal en lugar de valor implícito, ¿por qué consideramos que "=" es un operador de igualdad? ¿No necesitamos considerar todos los símbolos en el mismo contexto?

Creo que deberíamos considerar todos los símbolos bajo el propósito para el cual se inventa la representación simbólica, es decir, las matemáticas.

Es tan absurdo como comenzar a escribir en inglés y en medio de la oración cambiar a símbolos chinos e intentar imponer las reglas gramaticales de un idioma en el otro.

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