Si un argumento puede ser válido en un sistema lógico, pero inválido en otro, ¿son los argumentos lógicos "significativos"?

Así es como lo explico cuando enseño lógica.

La lógica formal o matemática usa las matemáticas para representar "buen razonamiento". Estos modelos son como mapas: pueden ser extremadamente útiles para ciertos propósitos; pero todo mapa útil introduce simplificaciones, distorsiones y omisiones. Un buen mapa tiene simplificaciones, distorsiones y omisiones que lo hacen más útil para el propósito designado. Pero no existe tal cosa como un mapa universal, literalmente para todo uso.

Por ejemplo, la lógica de oraciones o la lógica proposicional, el sistema formal que aprendes cuando estudias lógica por primera vez, asume funcionalidad de verdad y bivalencia. Funcionalidad de verdad significa que el valor de verdad de una oración compuesta (como "p o q") depende solo del valor de verdad de las oraciones componentes ("p" y "q"). Bivalencia significa que cada oración es verdadera o falsa, y ninguna oración puede ser ambas. No hay "parcialmente cierto" o "no estoy seguro". La funcionalidad de verdad y la bivalencia son extremadamente útiles para representar operadores como "no", "y" y "o". Pero hacen cosas extrañas a "si-entonces", y son simplemente incompatibles con "p porque q", "preferiría que p", o "todos los humanos son mortales; e Hypatia es humana;

Considere un mapa del metro. Las distancias entre los marcadores de estación en el mapa no se corresponden con las distancias entre estaciones. Al leer el mapa, usamos las convenciones y la prudencia para evitar hacer inferencias incorrectas. De la misma manera, al usar la lógica de oraciones, debemos usar las convenciones y la prudencia para evitar sobreinterpretar la explosión o la rareza de la condición material.

Otros sistemas formales usan suposiciones diferentes para hacer un mejor trabajo al representar algunas de las cosas que la lógica de oraciones realmente no puede representar. Pero tienen simplificaciones, distorsiones y omisiones propias. Por ejemplo, la lógica paraconsistente hace cosas raras con "o" . Esto significa que no existe un sistema formal universal. Un mapa de calles no es una buena manera de representar la organización de un sistema de metro; y tampoco es una buena manera de representar dónde viven las diferentes especies de aves en la ciudad. Para tres tareas diferentes (navegar en bicicleta, navegar en metro y ecología aviar) necesitamos mapas diferentes.

Todo esto es compatible con cierto tipo de realismo sobre el "buen razonamiento". Si los sistemas formales de lógica son como mapas, entonces el buen razonamiento real es como la ciudad representada en los mapas. La ciudad es real, incluso si ningún mapa puede representarla perfectamente en todos los aspectos y necesitamos ejercer un juicio prudencial "subjetivo" para usar correctamente cualquier mapa dado. En un sentido análogo, se podría decir que el razonamiento puede ser realmente bueno o malo, incluso si ningún sistema formal puede representarlo perfectamente en todos los aspectos y necesitamos ejercer un juicio no formal para evitar sobreinterpretar las peculiaridades de cualquier formal en particular. sistema.

Bertrand Russell dijo una vez que todas las declaraciones se dividen en dos categorías. Aquellos de los que se puede decir (demostrar) que son verdaderos o falsos, y aquellos que no. Y luego dijo que el corolario necesario es que ninguna declaración en el primer grupo (aquellas que se puede demostrar que son verdaderas o falsas) pueden asociarse o tener algo que ver con la realidad. es decir, sólo aquellas afirmaciones que son totalmente abstractas y que no tienen nada que decir sobre el universo real (como uno más uno es igual a dos) pueden probarse como verdaderas o falsas. y cualquier declaración que pretenda decir algo acerca de la realidad nunca puede probarse como absolutamente verdadera o falsa.

No, las "conclusiones contrarias" no tienen por qué ser "incorrectas de alguna manera". El ejemplo más simple es quizás la lógica modal, donde la declaración "está lloviendo" puede ser verdadera para algunos lugares y no para otros, o verdadera para el mismo lugar en algunos momentos y no para otros. Pero eso no implica ninguna deducción, per se.

En esos casos, la elección de la lógica apropiada típicamente involucra su universo de discurso. Por ejemplo, una típica regla clásica de inferencia sería
  A==>B A==>C
-------------------------
      A==> B&C
Ahora, a primera vista quizás pensaría que eso podría ser tautológicamente cierto en todos los universos del discurso. Pero considere el "universo de las máquinas expendedoras" donde, digamos, puede comprar una Coca-Cola por un dólar, que escribiremos 1$==>Coca-Cola . Y también puedes comprar una barra de chocolate por un dólar, 1$==>Candy . Pero ahora es incorrecto inferir que 1$==>Coca-Cola y Dulcesporque el dólar se agota. Un poco más formalmente, el proceso de probar la conclusión "agota" (o "descarga" en la terminología de la lógica lineal) las premisas. Las lógicas constructivas (lógicas subestructurales en general) suelen tener reglas de inferencia algo diferentes a las de la lógica clásica, lo que a menudo conduce a diferentes conclusiones demostrables a partir de las mismas premisas. Pero eso no significa que sea "correcto" o "incorrecto".

Creo que una buena manera de abordar esto es decir que diferentes lógicas tienen diferentes semánticas naturales. Es un lugar común, por ejemplo, decir que la lógica intuicionista puede interpretarse como la lógica de la demostrabilidad o verificabilidad (esta es la interpretación de BHK). Entonces, cuando un intuicionista escribe una proposición A, entendemos que esto significa que A es demostrable, y cuando escribe A o B, esto significa que A es demostrable o B es demostrable. Esto da lugar a una lógica que difiere de la clásica, por lo que un argumento puede ser clásicamente válido pero intuicionistamente inválido. Los dos no tienen por qué entrar en conflicto siempre que mantengamos la semántica separada. La lógica clásica se trata de verdades y falsedades, mientras que el intuicionismo se trata de demostrabilidad. De manera similar, se puede entender que la lógica de relevancia tiene la semántica natural del paso de información. Se puede entender que al menos una forma de lógica dialética tiene la semántica natural de la falsabilidad. Una lógica deóntica tendría la semántica natural de la obligación. La lógica lineal tiene la semántica natural de las interacciones limitadas por recursos (entre otras cosas). La teoría de la confirmación bayesiana puede entenderse como una especie de lógica de creencia parcial.

Esto está escrito desde el punto de vista de que la lógica clásica es de hecho la lógica "correcta" de las verdades. Hay disputas reales y sustantivas entre los defensores de algunas lógicas, por ejemplo, Michael Dummett con el intuicionismo, Stephen Read con la lógica de relevancia y Graham Priest con la lógica dialética, en las que afirman que su lógica es la lógica de la verdad y la falsedad y que la lógica clásica es no. Los defensores de la lógica clásica sostienen que la lógica clásica se trata de verdades y estas otras lógicas se refieren a otra cosa.

Te refieres al principio de explosión: que una contradicción implica todas las proposiciones en la lógica clásica. Esto no es problemático siempre que recordemos que estamos hablando de verdades. Debemos tener cuidado de no cambiar la semántica a la de la creencia: tener creencias inconsistentes no me da derecho a inferir todas las creencias. No podemos "descubrir" una contradicción en el mundo real porque una contradicción es una proposición, no una cosa. Si usamos la lógica clásica, al descubrir algunas observaciones contradictorias buscaríamos alguna forma de distinguirlas, alguna variable adicional que habíamos pasado por alto. Otra forma de pensar en esto es que, como cuestión de método, un científico que realiza un experimento dos veces y obtiene resultados diferentes no concluye que alguna contradicción sea cierta, pero asume que hay alguna variable desconocida que necesita ser identificada y controlada. Esta suposición es en efecto una forma de realismo.

En cuanto a lo que nos persuade de que la lógica clásica es una buena lógica para usar, una respuesta en el espíritu de Quine sería decir que la lógica clásica se justifica por la contribución que hace a nuestra comprensión científica del mundo. Si no funcionaba, lo descartamos y probamos otra cosa. De hecho, ha habido sugerencias empíricamente motivadas para otras lógicas, como la lógica cuántica. Otra línea de razonamiento podría ser afirmar que la lógica clásica corresponde al concepto de computabilidad a través de la correspondencia de Curry-Howard. Existen varios otros enfoques de la epistemología de la lógica.

Su última oración sobre cómo podemos hablar de lógica sin presuponerla en efecto pregunta: ¿cuál es la lógica de nuestro metalenguaje? En la práctica, esto suele ser clásico, aunque no es imposible que podamos usar alguna otra lógica en nuestro metalenguaje. Nuevamente, si no funcionaba bien, buscaríamos otro.

Si un programa de computadora funciona en un sistema operativo, pero no en otro, ¿tiene algún sentido?

Por supuesto, los programas de computadora son utilitarios (en el sentido no filosófico), y solo tenemos la expectativa de que funcionen en el contexto del sistema para el que fueron diseñados. Pero, ¿no ocurre lo mismo con los argumentos lógicos?

Puede ser que tenga expectativas de que los sistemas lógicos le den una idea de verdades metafísicas más grandes, expectativas que no tiene para los sistemas operativos. Pero así como las geometrías euclidiana y no euclidiana reflejan ciertos aspectos del universo tal como lo observamos, también los diferentes sistemas lógicos reflejan diferentes aspectos de la realidad. A lo que quizás tenga que renunciar es a su intuición de que existe un sistema lógico universal correcto, en lugar de múltiples sistemas que son útiles en diferentes contextos y con diferentes fines.

Hay varias formas de responder a esto, en función de lo que significan algunos de esos términos: sistema lógico, válido/no válido y 'significado'.

• un sistema lógico consta de una parte algebraica/simbólica (los conectores lógicos, las reglas de inferencia y su sintaxis) y una parte semántica (lo que se pretende con ellos). Estos tienen la intención de capturar lo que intuitivamente consideramos como "lógica", una formalización de lo que vagamente llamamos pensamiento racional. Por lo tanto, no es (vagamente) irrazonable pensar que hay más de una forma de representar el pensamiento lógico en símbolos que pueden llegar a conclusiones diferentes. Estas pueden ser conclusiones completamente opuestas, pero es más probable que haya muchas superposiciones o incluso más probable que los pensamientos que se pueden formalizar y probar en un sistema sean un subconjunto de otro. Sea lo que sea lo que estas formalizaciones formalizan, son significativas. Si dos sistemas se contradicen en algunos detalles, entonces la inferencia que debe hacer no es que '

• 'validez' es un término técnico en lógica, pero tratémoslo informalmente. Si un enunciado es válido en una lógica pero inválido en otra, podría ser que, sí, las dos lógicas se contradicen entre sí y que en la situación que describen los dos enunciados se vuelve incomprensible. Pero eso no significa que todas las demás declaraciones carezcan de sentido. Podría significar que las dos lógicas, aunque en su mayoría son iguales, solo describen dos cosas diferentes. Pero para ser concretos, lo que suele suceder con la lógica, como entre la lógica clásica y la lógica intuicionista, es que mientras que la ley del medio excluido es "verdadera" en la clásica, en cuanto a la intuicionista no es tanto falsa como no derivable. Es solo que puedes probar más cosas en lógica clásica.

• 'significado' tiene más de un significado. A menudo, en lógica, el significado técnico de una oración es si es verdadera o no, y eso es todo. El 'significado' de "A->A" es cierto. Pero existe el significado intuitivo y no técnico de 'significado', que son todas las conexiones que un concepto hace en tu cabeza, como "A->A" es un buen axioma y, a veces, es un buen equivalente para '-A v A' ya veces no. Entonces, "A->A" tiene significado de muchas maneras, aunque puede no tener el mismo significado según el contexto.

La lógica es sólo una forma de formalizar el pensamiento. Si tiene dos lógicas que se contradicen, no significa que toda la lógica sea una farsa y que los edificios y los puentes se vayan a desmoronar, significa que posiblemente cometió un error en el funcionamiento de una de sus lógicas, o puede significa que las dos formalizaciones capturan diferentes tipos de ideas, o puede significar que un enunciado es verdadero en ambos pero demostrable en uno pero no en el otro.