Comportamiento de transformación de campo escalar de N = 4 SYM después de un giro topológico

Question

Comportamiento de transformación de campo escalar de N = 4 SYM después de un giro topológico

Física
teoria de las cuerdas
supersimetría
nivel de investigación
geometría diferencial
teoría topológica del campo

Moe

¿Por qué los escalares se transforman en dos formas después de un giro topológico?

Actualmente estoy mirando este documento https://arxiv.org/abs/1403.2530 . Allí analizan un giro topológico en la teoría N=4 SYM en Kähler 2-fold.

Después de hacer un giro topológico con el $\mathcal{R}$ -simetría así como un adicional $U(1)$ simetría en un $N=4$ SYM, los 6 escalares reales del multiplete se reorganizan bajo el grupo de holonomía torcida:

GRAMO = S tu (2)_{L} \times tu (1)_{j^{'}}

$G = SU(2)_L \times U(1)_{J'}$ con

U (1)_{J^{'}} \subset S U (2)_{R}

$U(1)_{J'} \subset SU(2)_R$ . Lo importante ahora es que los 6 escalares se pueden reorganizar de manera que incluyan dos campos complejos:

(1)_{2} \oplus (1)_{- 2}

$(\boldsymbol{1})_2 \oplus (\boldsymbol{1})_{-2}$ Ahora se establece que estos dos campos se pueden identificar con un (2,0) y un formulario (0,2). Mi pregunta es, ¿cómo se puede llegar exactamente a esta identificación?

Por supuesto, es obvio que después de torcer y obtener carga bajo el $U(1)_{J'} \subset U(2)$ del grupo de holonomía, estos campos ya no pueden transformarse simplemente como escalares, pero ¿cómo puedo concluir de su $U(1)$ cargo en el comportamiento de transformación exacta?

Esto probablemente esté relacionado con otra pregunta mía, en otro artículo sobre este tema se afirma que los espinores en estas teorías podrían entenderse como secciones de $\boldsymbol{S}^{\pm} \otimes K^{1/2}$ con $\boldsymbol{S}^{\pm}$ que denota el haz de espín y $K^{1/2}$ la raíz cuadrada del paquete canónico de la variedad base y que al torcer con el $\mathcal{R}$ -Simetría, simplemente desenroscamos estas formas diferenciales torcidas, pero no entiendo por qué los espinores no son solo secciones del paquete de espín únicamente en primer lugar.

Una respuesta para la primera pregunta solo sería suficiente, solo quería aclarar mi confusión aquí un poco más.

Respuestas (1)

Comportamiento de transformación de campo escalar de N = 4 SYM después de un giro topológico

Moe · Answer 1

Entonces, la respuesta queda oscurecida en cierto sentido por la dimensionalidad explícita d=4 de esta configuración. Los escalares se transforman por definición como un singlete de la holonomía U(2) antes del giro, es decir, los escalares son elementos de $\Omega^0(M)$ y también están descargados bajo $U(1)_J$ , el $U(1)$ parte del grupo de holonomía.

Pero los seis escalares en el $N=4$ teoría SYM se rotan entre sí por la $SU(4) \simeq SO(6)$ y formar un vector de SO(6). Ahora, para el giro topológico dividimos

S O (6) \to S tu (2)_{A} \times S tu (2)_{B} \times tu (1)_{R}

$SO(6) \rightarrow SU(2)_A \times SU(2)_B \times U(1)_\mathcal{R}$ bajo el cual los campos escalares se descomponen en cuatro campos escalares reales transformándose como un

(2, 2)

$(\boldsymbol{2}, \boldsymbol{2})$ bajo

S U (2)_{A} \times S U (2)_{B}

$SU(2)_A \times SU(2)_B$ y un par de escalares complejos cargados bajo

U (1)_{R}

$U(1)_\mathcal{R}$ . Estos son solo los escalares mencionados en mi pregunta,

(1)_{0, 1} \oplus (1)_{0, - 1} bajo S tu (2) \times tu (1)_{j} \times tu (1)_{R} .

$(\boldsymbol{1})_{0,1} \oplus (\boldsymbol{1})_{0,-1} \text{ under } SU(2) \times U(1)_J \times U(1)_\mathcal{R}.$ Lo anterior

S U (2)

$SU(2)$ es de la

U (2)

$U(2)$ holonomía Por supuesto, ambos siguen siendo "escalares" desde la perspectiva del espacio-tiempo.

Ahora, giramos el $U(1)_J$ del grupo de holonomía vía

j^{'} = j + 2 R

$J'= J + 2\mathcal{R}$ y los estados previamente descargados (bajo el grupo de holonomía) se transforman ahora como

(1)_{2} \oplus (1)_{- 2}

$(\boldsymbol{1})_{2} \oplus (\boldsymbol{1})_{-2}$ bajo

S U (2) \times U (1)_{J^{'}}

$SU(2) \times U(1)_{J'}$ . ¡Pero esta representación es exactamente la misma representación de un formulario de 2 en un pliegue de Kähler! Es un singlete bajo el

S U (2)

$SU(2)$ ya que es una forma superior en el doble, es decir, un elemento de

Ω^{2, 0}

$\Omega^{2,0}$ o

Ω^{0, 2}

$\Omega^{0,2}$ pero la carga de 2 bajo la U(1) indica que es un elemento de la 2ª potencia exterior

Λ^{2} T^{*} M

$\Lambda^2 T^*M$ y no sólo una función.

Será más obvio si miras un espinor después del giro. Antes del giro, un espinor diestro se transforma en un $(\boldsymbol{2,1})$ bajo la $Spin(4) \simeq SU(2) \times SU(2)_J$ que ciertamente no es una forma 1. Después del giro se descomponen y obtenemos un espinor en la representación

(2)_{1} de S tu (2) \times tu (1)_{j^{'}} \subset tu (2)

$(\boldsymbol{2})_{1} \text{ of } SU(2) \times U(1)_{J'} \subset U(2)$ que es exactamente la descomposición de un elemento en el vector rep. de

U (2)

$U(2)$ en la ramificación dada, por lo tanto, el espinor es una forma o un elemento de

Λ^{1} T^{*} M

$\Lambda^1 T^*M$ después del giro.

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