Cuatro vectores de spinors

En el ejercicio 2.3 de Una introducción moderna a la teoría cuántica de campos de Michele Maggiore se me pide que demuestre que, si$\xi_R$y$\psi_R$son espinores diestros, entonces

$$V^\mu = \xi_R^\dagger \sigma^\mu \psi_R$$ se transforma como un cuatro vector. Aquí, $\sigma^\mu = (1,\sigma^i)$.

He demostrado que lo hace para impulsos a lo largo del eje x transformando explícitamente los dos espinores y mostrando que las componentes de$V^\mu$transforma correctamente. Parece fácil hacer lo mismo para impulsos en otras direcciones y rotaciones alrededor de ejes separados.

Sin embargo, me gustaría mostrar esto para una transformación general de Lorentz, es decir, me gustaría mostrar

$$(\Lambda_R \xi_R)^\dagger \sigma^\mu (\Lambda_R \psi_R) = \Lambda_\nu^\mu \xi_R^\dagger \sigma^\nu \psi_R \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ (2)}$$ Intentar hacer esto explícitamente parece incluso menos elegante que lo que he hecho hasta ahora. He intentado viajar $\sigma^\mu$a la derecha de $\Lambda_R$en (2), pero eso da una expresión bastante complicada.

¿Existe una manera un poco más elegante de ver por qué (2) es verdadero sin calcular todos los componentes explícitamente? (No estoy buscando una solución, ¡prefiero tener una pista!)