Construyendo so(1,3)so(1,3)\mathfrak{so}(1,3) repeticiones usando so(1,3)≅su(2)⊕su(2)so(1,3)≅su( 2)⊕su(2)\mathfrak{so}(1,3)\cong \mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(2)

La definición para el$(n_1,n_2)$la representación en la pregunta es casi correcta, pero no del todo.$(A,B)(v_1\otimes v_2)=(Av_1)\otimes(B v_2)$no es una acción lineal y probablemente ni siquiera esté bien definida (considere$A=A_1+A_2$y$B=B_1+B_2$).

La respuesta está en los diferentes significados del producto tensorial de las representaciones. Hay dos formas distintas de formar productos tensoriales de representaciones, y se explican en Lie Groups, Lie Algebras, and Representations de Brian Hall, 2ed, definiciones 4.19 y 4.20. Hall escribe después de estas dos definiciones:

La notación es, desafortunadamente, ambigua, ya que si$\Pi_1$y$\Pi_2$son representaciones del mismo grupo$G$, podemos considerar$\Pi_1\otimes\Pi_2$ya sea como representación de$G$o como representación de$G\times G$. Por lo tanto, debemos tener cuidado de especificar de qué manera estamos pensando$\Pi_1\otimes\Pi_2$.

Para aclarar estas dos formas diferentes tenemos que definirlas:

Definición 1. (Producto tensorial como representación de$\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}$). Dejar$\Pi_1$y$\Pi_2$ser dos representaciones de dos álgebras de mentira$\mathfrak{g}$y$\mathfrak{h}$. Dejar$V_1$y$V_2$sean los espacios vectoriales sobre los que actúan. Entonces podemos definir una representación de$\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}$en$V_1\otimes V_2$, definiendo la acción del grupo$(\pi_1,\pi_2)\cdot (v_1\otimes v_2)=(\pi_1\cdot v_1)\otimes v_2+v_1\otimes (\pi_2\cdot v_2)$. Esta representación a veces se denota$\Pi_1\otimes \Pi_2$. Para nuestros propósitos, llamemos a esto$\Pi_1\otimes_1 \Pi_2$

Definición 2. (Producto tensorial como representación de$\mathfrak{g}$). Dejar$\Pi_1$y$\Pi_2$ser dos representaciones de la misma Lie álgebra$\mathfrak{g}$. Dejar$V_1$y$V_2$sean los espacios vectoriales sobre los que actúan. Cualquier$a\in \mathfrak{g}$puede actuar sobre un elemento de$V_1$o un elemento de$V_2$en virtud de estas dos representaciones. Entonces podemos definir una representación de$\mathfrak{g}$en$V_1\otimes V_2$, definiendo la acción del grupo$a\cdot (v_1\otimes v_2)=(a\cdot v_1)\otimes v_2+v_1\otimes (a\cdot v_2)$para$a\in \mathfrak{g}$. Esta representación es, de manera confusa, también a veces denotada$\Pi_1\otimes \Pi_2$. llamemos a esto$\Pi_1\otimes_2 \Pi_2$

Además del momento angular, tenemos, por ejemplo,$\mathbf{\frac{3}{2}}\otimes_2 \mathbf{\frac{3}{2}}\cong \mathbf{3}\oplus \mathbf{2}\oplus \mathbf{1}\oplus \mathbf{0}$, una representación reducible de$\mathfrak{su}(2)$. (Tenga en cuenta que no hay ambigüedad para la suma directa como se define en la definición de Hall 4.12. Ambos lados son representantes de$\mathfrak{su}(2)$).

En nuestro caso, definimos$\left(\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2\right)=\mathbf{n}_1\otimes_1\mathbf{n}_2$, una representación irreductible de$\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$. Puedo suponer que se adopta la notación de paréntesis en lugar de la notación del producto tensorial para enfatizar la diferencia entre las dos formas, ¡pero de hecho es un cierto producto tensorial de dos representaciones!

La confusión en la pregunta fue causada por preguntar, si$\left(\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2\right)$es un producto tensorial, ¿por qué no tenemos$\left(\mathbf{\frac{1}{2}},\mathbf{\frac{1}{2}}\right)\cong\mathbf{1}\oplus\mathbf{0}$? La respuesta es que el lado derecho es una representación de$\mathfrak{su}(2)$mientras que el lado izquierdo es una representación de$\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(2)$, por lo que los dos lados no podrían ser isomorfos.

Probablemente sea mejor ceñirse a la definición 2 de la física, de modo que el significado de los productos tensoriales en la suma del momento angular permanezca inequívoco. De hecho, ambas representaciones actúan sobre el producto tensorial de los dos espacios vectoriales subyacentes, pero las acciones son diferentes y las álgebras que representan son diferentes.