¿Cuántos juegos vacíos hay?

Hay muchos sets con un solo objeto, por ejemplo el set que solo contiene la estatua de la libertad o el set que contiene mi copia de Catch-22.

Pero, ¿cuántos juegos hay que no contienen nada?

A primera vista, parece ser solo uno. El conjunto vacío es único en su particularidad ya que no contiene nada para distinguirse.

Por otro lado, se podría decir que hay muchos conjuntos vacíos y que todos son idénticos, como isomorfos, pero no idénticos, ya que son exactamente iguales. Para hacer esto más concreto, considere a Jamila y Jemima llevando cada una una canasta, y en la canasta de Jamila hay una esmeralda, y en la canasta de Jemima hay un rubí. Entonces, el contenido de sus canastas no es idéntico. Si vacían sus cestas. El contenido de la canasta ahora es idéntico (isomorfo) pero las dos canastas no son idénticas.

¿Cuál es la vista más precisa?

¿Es correcto decir en ZFC formalizado que solo hay un conjunto vacío?

¿Es correcto decir que en la teoría categórica de conjuntos, digamos ETCS, hay muchos conjuntos vacíos pero todos son isomorfos?

Estoy menos interesado en las partes 'formales' de la pregunta en comparación con los argumentos conceptuales sobre la unicidad o no unicidad de los 'conjuntos' vacíos, donde los conjuntos no deben considerarse como en ZFC

Resulta que en ETCS hay más de un conjunto vacío (y dado que son iniciales) también son todos isomorfos entre sí. Ver la respuesta a esta pregunta

Hay exactamente un conjunto vacío de acuerdo con la axiomatización más habitual de la teoría de conjuntos (a saber, ZFC). Que haya uno está garantizado por el Axioma del Conjunto Vacío. Que es único está garantizado por el Axioma de Extensionalidad.
No estoy seguro de si es correcto decir que hay más de un conjunto vacío en ETCS. Mi impresión es que PODRÍAN ser más de un conjunto vacío, pero también PODRÍAN ser únicos. Sin embargo, puedo estar malinterpretando algo.
En ETCS tienes un objeto inicial que juega el papel de un conjunto vacío . Debido a que la definición se basa en una propiedad universal (para cualquier objeto A hay exactamente un morfismo desde el objeto inicial hasta A), un objeto inicial es único hasta el isomorfismo. Dado que en la teoría de categorías está interesado en la unicidad hasta el isomorfismo, habla del objeto inicial .
..aunque es cierto que en una estructura concreta (mundo/interpretación/modelo) puede haber varios objetos iniciales, sin embargo todos garantizados para ser isomorfos.
No necesita pensar en un objeto inicial como algo vacío ; puede ser cualquier cosa que cumpla con la propiedad definitoria.

Respuestas (5)

En ZFC tenemos dos axiomas que resuelven esa cuestión:

Conjunto Vacío . Hay un conjunto que no contiene nada.

Extensionalidad . Si los conjuntos A y B tienen exactamente los mismos miembros, entonces A = B.

El axioma del conjunto vacío nos permite concluir que existe un conjunto vacío. Supongamos que hay dos conjuntos vacíos A y B. Vacuamente, todo miembro de A es miembro de B (ya que A no tiene miembros), y viceversa. Luego por el Axioma de Extensionalidad se sigue que A y B son el mismo conjunto. Estos axiomas (existencia y extensionalidad) garantizan que hay exactamente un conjunto vacío (generalmente denotado por '∅').

No estoy nada familiarizado con ETCS, por lo que no comentaré sobre esa parte de la pregunta.

Mozibur ya ha dado una respuesta satisfactoria a la pregunta conceptual, así que citaré:

El conjunto vacío es único en su particularidad ya que no contiene nada para distinguirse.

Dado que ZFC distingue los conjuntos por su contenido, dos conjuntos vacíos serán indistinguibles porque ninguno puede contener nada que el otro no contenga. En la analogía de las canastas, dado que las dos canastas vacías tienen ubicaciones diferentes, queremos decir que son dos canastas vacías distintas. Pero dado que para ZFC los conjuntos no están ubicados en el espacio-tiempo, las dos canastas son idénticas porque no se puede, en el lenguaje de ZFC, decir algo verdadero sobre uno que sea falso sobre el otro.

La extensionalidad, en ZFC, recorta el universo al identificar dos cosas que tienen los mismos miembros, lo que nos permite nombrar sin ambigüedades cosas como el conjunto vacío ∅, la intersección de dos conjuntos A ∩ B, el par ordenado de dos conjuntos (A, B), y así sucesivamente. En un universo con muchos conjuntos vacíos, la definición de '∅' se volvería más complicada porque tendríamos que identificarlo con la clase de todos los conjuntos vacíos, y esa complicación ascendería por toda la jerarquía de definiciones.

Ok, genial, ¿eso trata la pregunta en el marco de ZFC? ¿Qué pasa con la cuestión conceptual? ¿Tiene alguna idea sobre eso?
Mi respuesta resultó ser bastante larga, así que la agregué a la publicación.
@MoziburUllah Conceptualmente hablando, podría crear un sistema con conjuntos vacíos distinguibles, pero ya no sería ZFC. La gran pregunta sería qué ganaría al hacer ese cambio.
¿Cuál es el significado de la frase "cuestión conceptual" distinta de ZFC o cualquier otra formalización particular de la teoría de conjuntos? ¿Cómo sabemos que su concepto de conjunto vacío es el mismo que el mío? Por eso tenemos formalizaciones, ¿no? En ausencia de cualquier formalización, la pregunta no tiene sentido. Es como preguntar si ves el mismo color naranja que yo.
Creo que es una pregunta significativa. La suposición es que hay algunas intuiciones preteóricas que tenemos sobre ciertos objetos (por ejemplo, pares ordenados). Luego, cuando explicamos de diversas formas (por ejemplo, construimos, axiomatizamos, etc.) esos objetos (por ejemplo, usando las definiciones de Wiener o Kuratowski, etc.), verificamos contra esta base intuitiva para ver si hemos capturado todo lo que consideramos relevante sobre esas cosas. (por ejemplo, si <a,b> = <x,y> entonces a=x y b=y, etc.). Por eso creo que es muy importante tener muy claras las intuiciones que tenemos sobre las cosas incluso antes de formalizarlas.
¿Qué definiciones de Kuratowski o de Weiner? ¿Son para la teoría de conjuntos?
Para pares ordenados. El de Kuratowski es el estándar: <a,b> = {{a}, {a,b}}. Wiener's fue el primero, pero no se hizo popular; era: <a,b> = {{{x}, ∅}, {{y}}}. (Enderton 1977: 36).
Interesante. ¿Significa esto también que no pueden existir múltiples conjuntos que contengan el mismo elemento y nada más? Entonces, por ejemplo, ¿no puede haber 2 conjuntos A{a} y B{a}?
@FedericoRazzoli Exactamente. 'A' y 'B' son nombres diferentes para el mismo conjunto; y el axioma de extensionalidad dice por qué los consideramos idénticos.
@Hunan Rostomyan: "En un universo con muchos conjuntos vacíos, la definición de '∅' se volvería más complicado porque tendríamos que identificarlo con la clase de todos los conjuntos vacíos" - alternativamente (sin extensionalidad) uno podría mostrar que la elección de un conjunto vacío en particular no importa y trabajar con cualquiera de ellos.
@FWE buen punto. Muchas gracias por la edición.

Dado que el punto matemático se ha mencionado anteriormente, solo comentaré el lado ontológico: uno podría hacer la misma pregunta sobre todo, desde el número 1 hasta los seres humanos. ¿Existe solo el número 1 o existen muchos objetos matemáticos isomórficos con sus propiedades? ¿Hay un solo yo, o hay muchos otros yo isomórficos (bajo algún acuerdo sobre qué objetos físicos son isomorfos)?

Dado que dudo que uno pueda encontrar una razón para tener una multiplicidad de tales objetos (excepto posiblemente cuando se habla de identidad modal), probablemente sea mejor tener solo uno de esos objetos en la ontología de uno.

Este es un buen punto; de hecho, Frege argumentó específicamente en el sentido de que solo hay un número 1, y que esta necesidad de definir categóricamente el número 1 (y otros objetos matemáticos) fue lo que lo llevó a usar el Principio de Hume como un axioma definitorio clave para su formalización de la aritmética de segundo orden: en.wikipedia.org/wiki/Hume's_principle . Por supuesto, como ahora sabemos, la misma estrategia tuvo problemas con BL5 y la teoría de conjuntos...
@Addem No estoy de acuerdo. Un conjunto vacío podría verse simplemente como un objeto base de su universo. Una multiplicidad de conjuntos vacíos (en el sentido de cosas, que no contienen otras cosas en sí mismas) podría, por lo tanto, surgir de manera bastante natural (ver, por ejemplo, el ejemplo de los conjuntos de automóviles a continuación).

Sólo hay un conjunto vacío.

ZFC considera que dos conjuntos son diferentes si uno contiene un elemento que no está dentro del otro. Esto viene del axioma de extensionalidad de ZF.

Las respuestas anteriores le dan la razón matemática dentro de ZFC para la unicidad y existencia del conjunto vacío .

Para ello desde un punto de vista intuitivo, puedes utilizar la analogía con una caja .

Un conjunto no es una caja, sino el contenido de la caja.

Por lo tanto, puede tener dos cajas vacías diferentes, pero su contenido es el mismo: el "contenido vacío".

Un conjunto es una caja, por ejemplo: el conjunto vacío es la caja vacía (lo llamamos "{}"); no contiene nada. Si dos cajas no contienen nada, siguen siendo cajas diferentes porque, por ejemplo, puedes usar una para guardar tus libros viejos y puedes quemar la otra. Si dos conjuntos no contienen nada, no puede "hacer" nada con uno que no esté haciendo simultáneamente con el otro.
Un juego no es una caja; es el contenido de la caja.
Supongo que no tenemos que estar de acuerdo en ese punto. ¿Qué te pareció el resto de mi comentario?
@HunanRostomyan Creo que su argumento respalda el punto de Mauro: dos cajas vacías pueden ser diferentes, pero el contenido de dos cajas vacías es el mismo. Además, a diferencia de las cajas físicas, los conjuntos son "inmutables": si "haces" algo en un conjunto, obtienes un conjunto diferente.
@HunanRostomyan: dos cajas (también cuando están vacías) son cosas diferentes: la caja de configuración es una analogía, por lo que no es fácil tratar de encontrar una correspondencia perfecta entre conjuntos y una cosa física. En la teoría de conjuntos, el conjunto vacío 0 es diferente de {0}; el primero está vacío, el segundo no: tiene exactamente un elemento (el conjunto vacío).
Sí, no es lo mismo una caja vacía que una caja con una caja vacía dentro. Pero eso no tiene nada que ver con mi pregunta. De todos modos, no tenemos que discutirlo. En general, estoy abierto a la idea de distinguir conjuntos vacíos, simplemente no puedo pensar en ninguna buena razón matemática para hacerlo. Considere una axiomatización de la teoría de conjuntos sin extensionalidad. Qué razón podría tener uno para preferir eso a los extensionales...
@HunanRostomyan Puede que le interese math.stackexchange.com/questions/63910/…
Muchas gracias por el enlace. Hojeado a través de las respuestas; se ve muy bien. Creo que vale la pena agregar el enlace como comentario a la pregunta principal; Estoy seguro de que otros también estarían interesados ​​en la discusión.
La intuición de que un conjunto vacío no es representante de nada (el contenido vacío de una caja) puede conducir a una dirección equivocada. Los conjuntos vacíos son más bien objetos básicos de su teoría en la medida en que no contienen más objetos dentro de ellos. Requerir o no que todos los conjuntos vacíos sean idénticos marca la diferencia entre trabajar en un universo con (1) solo un objeto base (el único conjunto vacío) o (2) posiblemente muchos objetos base (conjuntos vacíos).

Pregunta 1. ¿Es correcto decir en ZFC formalizado que solo hay un conjunto vacío?

ZFC requiere un conjunto vacío único, es decir, para ZFC solo hay un conjunto vacío. Esto se debe al axioma de Extensionalidad de ZFC, que identifica dos conjuntos siempre que tengan los mismos elementos, formalmente:

∀ x ∀ y [∀ z [z ∈ x ↔ z ∈ y] → x = y]

y el axioma del conjunto nulo , que requiere la existencia de un conjunto vacío (es decir, un conjunto que no contiene ningún otro conjunto), formalmente:

∃ x ∀ y [y ∉ x]

Referencias.

Wikipedia. Axioma de extensionalidad

nLab.Axioma de extensionalidad

nLab.ZFC

Pregunta 2. ¿Es correcto decir que en la teoría categórica de conjuntos, digamos ETCS, hay muchos conjuntos vacíos pero todos son isomorfos?

ETCS requiere al menos uno y permite varios objetos iniciales alias conjuntos vacíos . Esto se debe a que un objeto inicial 0 (que se puede pensar que representa un conjunto vacío) está definido por una propiedad universal , a saber, que para cualquier objeto x hay exactamente un mormismo de 0 a x, formalmente:

∀ x ∃! 0 → x

(la flecha aquí es un morfismo, no una deducción) y, por lo tanto, se define hasta el isomorfismo (único). Sin embargo, dado que los objetos iniciales son isomorfos, se habla del objeto inicial.

Dos objetos iniciales 0 y 0' deben ser isomorfos: como 0 es inicial existe 0 → 0', y como 0' es inicial existe 0' → 0. Entonces la composición 0 → 0' → 0 debe ser la identidad en 0 (dado que 0 es inicial, por definición solo puede haber un mormhismo 0 → 0 pero esta tiene que ser la identidad, que se da en cualquier categoría para cualquier objeto). La argumentación analógica muestra que 0' → 0 → 0' debe ser la identidad en 0'. Entonces 0 y 0' son isomorfos (lo que acabamos de mostrar es la definición de dos objetos que son isomorfos: a y b son isomorfos si hay dos morfismos f: a → b y g: b → a y gf = id: a → a y fg = id: b → b.

Referencias.

Wikipedia.Objetos iniciales y terminales

nLab.Objeto inicial

nLab.ETCS

Ejemplo (Conjuntos de coches). Si considera conjuntos de vagones, entonces cualquier vagón que no contenga otros vagones (por lo que se excluyen los transportadores de vagones cargados o los vagones con cajas de cerillas dentro), es un conjunto vacío. ZFC considera que todos esos autos son idénticos; por lo tanto, solo hay un auto que no contiene otros autos. ETCS permite distinguirlos, pero los considera isomorfos.

Pregunta *. ¿Cuál es la vista más precisa?

Mi opinión personal. Pedir precisión quizás no sea el enfoque correcto aquí. En cambio, uno podría preguntarse con qué concepto trabajar. Esto depende de tu criterio:

(1) En caso de que esté interesado en el estudio de órdenes de pozos y la jerarquía acumulativa, es posible que desee trabajar con ZFC.

(2) En caso de que esté interesado en las matemáticas además de eso y en cómo se usan los conjuntos allí, probablemente debería echar un vistazo a la teoría de categorías y ETCS en lugar de ZFC.

Referencias.

nLab. Jerarquía acumulativa

Leinster. Repensando la teoría de conjuntos

+1 Buena respuesta. Si agregó referencias para el axioma de extensionalidad de ZFC y para obtener más información sobre el isomorfismo en ETCS, esto mejoraría la respuesta porque le daría al lector un lugar para obtener más información. Esto también haría que la respuesta no sea una opinión sino un informe de lo que otros afirman.
¿Cuántos juegos vacíos hay?
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