Cuantificación de Rindler-Fulling: expansión del modo Rindler de ϕϕ\phi: ¿por qué estamos ignorando las cuñas pasadas y futuras?

Question

Cuantificación de Rindler-Fulling: expansión del modo Rindler de ϕϕ\phi: ¿por qué estamos ignorando las cuñas pasadas y futuras?

Física
causalidad
efecto unruh
tensor-métrico
relatividad general
qft-en-espacio-tiempo-curvo

QuantumEyedea

Estoy siguiendo el capítulo 2 del ruido de vacío y el estrés inducidos por el acelerador uniforme de Takagi . Estoy a punto de realizar la cuantización de Rindler-Fulling de un campo escalar real, donde expandes $\phi$ en términos de los modos Rindler en las cuñas izquierda y derecha, me sorprende por qué ignora por completo las contribuciones al campo en las cuñas futuras y pasadas. Especifiquemos que la dimensión 4 sea concreta.

El espacio de Minkowski se divide en cuatro regiones:

Cuña Rindler derecha: R_{+} = {(X^{0}, X^{1}, X^{2}, X^{3}) \in R^{4} | X^{1} > | X^{0} |} Cuña Rindler Izquierda: R_{-} = {(X^{0}, X^{1}, X^{2}, X^{3}) \in R^{4} | X^{1} < - | X^{0} |} Cuña del futuro: F = {(X^{0}, X^{1}, X^{2}, X^{3}) \in R^{4} | X^{0} \geq | X^{1} |} Cuña pasada: PAG = {(X^{0}, X^{1}, X^{2}, X^{3}) \in R^{4} | X^{0} \leq - | X^{1} |}

$\text{Right Rindler Wedge:}\ \ \ \mathcal{R}_{+} = \left\{ \ (x^0, x^1, x^2, x^3) \in \mathbb{R}^{4} \ | \ x^1 > |x^0| \right\} \\ \text{Left Rindler Wedge:}\ \ \ \mathcal{R}_{-} = \left\{ \ (x^0, x^1, x^2, x^3) \in \mathbb{R}^{4} \ | \ x^1 < - |x^0| \right\} \\ \text{Future Wedge:}\ \ \ \mathcal{F} = \left\{ \ (x^0, x^1, x^2, x^3) \in \mathbb{R}^{4} \ | \ x^0 \geq |x^1| \right\} \\ \text{Past Wedge:}\ \ \ \mathcal{P} = \left\{ \ (x^0, x^1, x^2, x^3) \in \mathbb{R}^{4} \ | \ x^0 \leq -|x^1| \right\}$

Recuerde que las coordenadas de Rindler $(\eta, \xi, x^2, x^3)$ están relacionados con las coordenadas rectangulares de Minkowski $(x^0, x^1, x^2, x^3)$ a través de la transformación:

X^{0} = ξ pecado (η), X^{1} = ξ aporrear (η)

$x^0 = \xi \sinh(\eta)\ , \ \ \ \ \ \ x^1 = \xi \cosh(\eta)$ Las coordenadas

(η, ξ, x^{2}, x^{3})

$(\eta,\xi,x^2,x^3)$ solo cubre

R_{+}

$R_{+}$ y

R_{-}

$R_{-}$ .

Uno resuelve la ecuación de Klein-Gordon $(\Box_{x} - m^2)r_{\mathbf{k}}(x) =0$ para las funciones del modo Rindler $r_{\mathbf{k}}$ (dónde $\mathbf{k} = (\Omega,k_2,k_3) \in (0,\infty) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ son los parámetros de modo), con la restricción de que son de frecuencia positiva con respecto al tiempo de Rindler $\eta$ , es decir. Esto significa que $\frac{\partial}{\partial \eta} r_{\mathbf{k}} = - i \omega r_{\mathbf{k}}$ para algunos $\omega > 0$ (tomando $r_{\mathbf{k}}^{\ast}$ le da modos de frecuencia negativa).

Uno descubre que necesita una solución separada en cada una de las cuñas de Rindler: por lo tanto, tiene modos de frecuencia positiva $r^{+}_{\mathbf{k}}$ en $\mathcal{R}_{+}$ , y modos de frecuencia positiva $r^{-}_{\mathbf{k}}$ en $\mathcal{R}_{-}$ . Un poco más explícitamente se encuentra:

r_{k}^{+} (η, ξ, X^{2}, X^{3}) = {\begin{cases} F_{k}^{+} (ξ) {mi}^{- i Ω η + i k_{2} X^{2} + i k_{3} X^{3}}, X \in R_{+} \\ 0, X \in R_{-} \end{cases} r_{k}^{-} (η, ξ, X^{2}, X^{3}) = {\begin{cases} 0, X \in R_{+} \\ F_{k}^{-} (ξ) {mi}^{+ i Ω η + i k_{2} X^{2} + i k_{3} X^{3}}, X \in R_{-} \end{cases}

$r^{+}_{\mathbf{k}}(\eta, \xi, x^2, x^3) =\begin{cases} \ f^{+}_{\mathbf{k}}(\xi)\ e^{ - i \Omega \eta + i k_2 x^2 + i k_3 x^3 } \ \ \ \ \ , \ x \in \mathcal{R}_{+} \\ \ 0 \ \ \ \ \ , \ x \in \mathcal{R}_{-} \end{cases} \\ r^{-}_{\mathbf{k}}(\eta, \xi, x^2, x^3) =\begin{cases} \ 0 \ \ \ \ \ , \ x \in \mathcal{R}_{+} \\ \ f^{-}_{\mathbf{k}}(\xi) \ e^{ + i \Omega \eta + i k_2 x^2 + i k_3 x^3 } \ \ \ \ \ , \ x \in \mathcal{R}_{-} \end{cases}$ Dónde

f_{k}^{\pm} (ξ)

$f^{\pm}_{\mathbf{k}}(\xi)$ son funciones terribles que no tengo la valentía de escribir aquí. Para los modos de frecuencia negativa, simplemente tome los conjugados complejos de los anteriores. La combinación de todos estos modos

{r_{k}^{+}, r_{k}^{-}, r_{k}^{+ *}, r_{k}^{- *}}

$\{ r^{+}_{\mathbf{k}}, r^{-}_{\mathbf{k}} , r^{+\ast}_{\mathbf{k}}, r^{-\ast}_{\mathbf{k}} \}$ están completos

R_{+} \cup R_{-}

$\mathcal{R}_{+} \cup \mathcal{R}_{-}$ . Entonces Takagi expande el campo

ϕ

$\phi$ en términos de esta porción del espacio de Minkowski:

ϕ (X) = \int d^{3} k [r_{k}^{+} (X) b_{k}^{(+)} + r_{k}^{+ *} (X) b_{k}^{(+) †} + r_{k}^{-} (X) b_{k}^{(-)} + r_{k}^{- *} (X) b_{k}^{(-) †}]

$\phi(x) = \int d^3\mathbf{k}\ \left[ r_{\mathbf{k}}^{+}(x) b_{\mathbf{k}}^{(+)} + r_{\mathbf{k}}^{+\ast}(x) b_{\mathbf{k}}^{(+)\dagger} + r_{\mathbf{k}}^{-}(x) b_{\mathbf{k}}^{(-)} + r_{\mathbf{k}}^{-\ast}(x) b_{\mathbf{k}}^{(-)\dagger} \right]$

Mi pregunta: ¿Por qué puede expandir el campo solo en este subconjunto? $\mathcal{R}_{+}\cup \mathcal{R}_{-}$ del espacio de Minkowski? ¿Creo que necesita expandir el campo sobre todos los puntos en el espacio de Minkowski? No estoy seguro de cómo expresar esto correctamente, pero ¿no debería haber contribuciones al campo? $\phi$ procedente de $\mathcal{F} \cup \mathcal{P}$ ?

Al menos, esto es lo que normalmente se hace cuando cuantificas $\phi$ en términos de tiempo rectangular de Minkowski, es decir , en términos de ondas planas $\propto e^{\mp i \sqrt{\mathbf{p}^2+m^2} x^0 \pm i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} }$ . Aquí tendrías una expansión válida del campo. $\phi(x)$ para todos los puntos en el espacio de Minkowski incluyendo $x \in \mathcal{F} \cup \mathcal{P}$

Respuestas (1)

Cuantificación de Rindler-Fulling: expansión del modo Rindler de ϕϕ\phi: ¿por qué estamos ignorando las cuñas pasadas y futuras?

Valter Moretti · Answer 1

Hay dos cosas que debes observar. Primero, la unión de las dos cuñas abiertas es un espacio-tiempo globalmente hiperbólico (no conectado) por derecho propio, por lo que la cuantización es posible sin problemas. En segundo lugar, la unión de ese par de cuñas es un espacio-tiempo estático con respecto al campo del vector Killing de impulso que es similar al tiempo exactamente dentro de estas regiones (es similar a la luz en su límite pero se desvanece en la superficie de bifurcación y es similar al espacio en el pasado restante y futuras cuñas). El procedimiento de cuantificación en las cuñas derecha e izquierda se basa en la construcción estándar del vacío estático con respecto a ese noción de tiempo. Ese vacío estático es unestado fundamental .siendo el vector propio cero del hamiltoniano positivo referido al tiempo de impulso (con direcciones opuestas en las dos cuñas). Esta construcción es imposible en el resto del espacio-tiempo. De hecho, el vacío de Fulling-Unruh y su espacio de Fock solo se definen para observables dentro de dichas cuñas y no se pueden extender a todo el espacio-tiempo de Minkowski (tiene muy malas singularidades en el horizonte de Killing). Entonces, en cierto sentido, tiene razón en el hecho de que se pierde alguna contribución de las regiones restantes, de hecho, este estado no se puede extender a esas regiones como dije. Por el contrario, el vacío de Minkowski se define en todas partes en el espacio-tiempo de Minkowki y en la invariante de Poincaré. Es un estado fundamental (0 vector propio del hamiltoniano positivo correspondiente) con respecto a cada noción de tiempo de Minkowski. Como probablemente sabes, El vacío de Minkowski restringido al álgebra de campos observables localizados en las cuñas izquierda y derecha aparece como un estado térmico con respecto a la noción de impulso del tiempo (un estado KMS) en vista del llamado teorema de Bisognano-Wichmann (Fulling-Sewell) aplicado al caso más simple de campos que no interactúan... Sin embargo, esta restricción no puede representarse como un estado (matriz de densidad) en el espacio de Fock construido sobre el vacío de Fulling y la noción algebraica de estado es necesaria... Estrictamente hablando, uno debería decir que el vacío de Fulling-Unruh no existe. Lo que existe es solo el estado térmico, aparentemente refiriéndose a esa noción de estado de vacío, que surge al restringir el vacío de Minkowski. Sin embargo, esta restricción no se puede representar como un estado (matriz de densidad) en el espacio de Fock construido sobre el vacío de Fulling y la noción algebraica de estado es necesaria... Estrictamente hablando, se debería decir que el vacío de Fulling-Unruh no existe. Lo que existe es solo el estado térmico, aparentemente refiriéndose a esa noción de estado de vacío, que surge al restringir el vacío de Minkowski. Sin embargo, esta restricción no se puede representar como un estado (matriz de densidad) en el espacio de Fock construido sobre el vacío de Fulling y la noción algebraica de estado es necesaria... Estrictamente hablando, se debería decir que el vacío de Fulling-Unruh no existe. Lo que existe es solo el estado térmico, aparentemente refiriéndose a esa noción de estado de vacío, que surge al restringir el vacío de Minkowski.

Gracias por la gran respuesta. En la literatura he visto la afirmación "los modos de Rindler pueden continuarse analíticamente para $\mathcal{F}$ y $\mathcal{P}$ (desafortunadamente, no puedo recordar una fuente para esto) $\to$ por lo que obtengo de su publicación, ¿esto no es necesario? Porque no existe una buena noción del tiempo en esas regiones (generada por $\frac{\partial}{\partial \eta}$ )? Estoy entendiendo ahora la expansión. $\phi(x)$ es más precisamente sobre las coordenadas donde el 'tiempo' $\eta$ existe, así que más como $\phi(\eta,\xi,x^2,x^3)$ en $\mathcal{R}_{+} \cup \mathcal{R}_{-}$
¿Hay alguna utilidad en continuar analíticamente los modos Rindler para $\mathcal{F}$ y $\mathcal{P}$ ?
Creo que es útil en algún cálculo, no lo recuerdo. Tal vez solo para probar que el vacío de Minkowki es un estado térmico en las cuñas izquierda y derecha. Trate de consultar el librito de Wald sobre agujeros negros y qft en el espacio-tiempo curvo. El problema con la extensión del vacío de Rindler es que su singularidad de corta distancia es una lástima en el horizonte de Killing...

Cuantificación de Rindler-Fulling: expansión del modo Rindler de ϕϕ\phi: ¿por qué estamos ignorando las cuñas pasadas y futuras?

QuantumEyedea

Respuestas (1)

Valter Moretti

QuantumEyedea

QuantumEyedea

Valter Moretti

"El centro de un agujero negro es un tiempo"

Cambiando la firma de la métrica y consecuencias en la estructura causal del espacio-tiempo

¿Hay algún vector Killing global temporal en la geometría de Schwarzschild?

¿Qué determina físicamente la topología de conjunto de puntos de una variedad de espacio-tiempo?

¿Puede la teoría cuántica de campos no manejar marcos de referencia acelerados?

Cono de luz/coordenadas nulas

Diagrama del espacio-tiempo para el universo de Robertson-Walker

Causalidad en relatividad general

Dirección objetiva del tiempo en la relatividad general

¿Qué es el 'pasado infinito nulo'?