Cuantificación de nivel 2+1D Chern Simons

Comentarios a la primera subpregunta de OP (v3):

• La acción Chern-Simons (CS)$S[A]$siempre es invariante bajo transformaciones de norma infinitesimales. Si requerimos que el factor de CS Boltzmann sea invariante bajo transformaciones de gran calibre $g:M\to G$, entonces el nivel$k$tiene que ser cuantizado. Véase también, por ejemplo, GV Dunne, Aspects of Chern-Simons Theory, arXiv:hep-th/9902115 , eq. (58).

• Uno debe asegurarse de que la densidad CS Lagrangiana sea integrable, de modo que la acción$S[A]$está bien definida y es finita. Esto, a su vez, impuso restricciones a los potenciales de calibre permitidos.$A$y transformaciones de calibre permitidas$g$, en particular si el espacio-tiempo 2+1D$M$es una variedad no compacta. Por lo general, uno impondría que$A$y$g$debería desaparecer lo suficientemente rápido en "infinito", es decir, esencialmente un punto compactar la variedad.

La acción de Chern-Simon clásicamente no es invariante de calibre. Bajo$A_\mu \rightarrow A^g_\mu=g A_\mu g^{-1} - \partial_\mu g g^{-1}$, el lagrangiano se transforma como

$\mathcal{L}_{CS} \rightarrow \mathcal{L}_{CS} + \frac{k}{4\pi} \epsilon^{\mu\nu\alpha} \partial_\mu\ Tr(\partial_\nu g g ^{-1} A_\alpha) + \frac{k}{12\pi} \epsilon^{\mu\nu\alpha}\ Tr(g^{-1}\partial_\mu g g^{-1}\partial_\nu g g^{-1}\partial_\alpha g)$.

El segundo término es una derivada total que se anula. El último término, sin embargo, no desaparece. Hasta una constante, la integral de este término se llama número de bobinado.$\omega(g)$, dada por

$\omega(g)=\frac{1}{24\pi^2}\int d^3x\ \epsilon^{\mu\nu\alpha}\ Tr(g^{-1}\partial_\mu g g^{-1}\partial_\nu g g^{-1}\partial_\alpha g)$.

$\omega(g)$es un número entero llamado número de devanado. Ahora, podemos escribir

$S_{CS}(A) \rightarrow S_{CS}(A^g) = S_{CS}(A) + 2\pi k \omega(g)$.

La acción de Chern-Simons clásicamente no es invariante de calibre, pero se puede hacer invariante de calibre a nivel cuántico al restringir$k$ser un número entero. En ese caso, el peso de la integral de trayectoria$e^{iS_{CS}}$no cambia, por lo que la teoría se vuelve invariante de calibre. el entero$k$se suele denominar el "número de nivel" de la teoría de Chern-Simons.