Se determina una teoría cuántica de campos si existe una base de espacio de Hilbert con operadores que actúan sobre él (tal que un elemento de un espacio de Hilbert es también un elemento del mismo espacio de Hilbert si un operador actúa sobre él) y existe una relación hamiltoniana y de conmutador. Ahora quiero saber si la electrodinámica cuántica se puede reformular en términos de cobordismos en lugar de distribuciones de campo en el espacio-tiempo.
La electrodinámica cuántica tiene el hamiltoniano:
El conmutador Relaciones para potencial vectorial y campos electricos son
para campos de fermiones los anticonmutadores están dados por
Todas las demás relaciones del conmutador son cero. En el enfoque ordinario de la electrodinámica cuántica, uno tiene un estado de vacío , donde la Acción de un operador de campo sobre él da la función de campo correspondiente y una creación o Aniquilación de un campo sobre el vacío.
¿Es posible asumir el estado de vacío en un tiempo fijo? como una colección de límites tridimensionales, donde el operador hamiltoniano define cómo este límite tridimensional evoluciona a otro límite tridimensional en ? ¿Puedo asumir operadores de campo como cobordismos en tales estados? Tal vez pueda crear una teoría con la misma relación hamiltoniana y conmutadora, pero ¿donde uso límites como objetos y cobordismos como morfismos?
Diría que sí, porque esto se puede lograr mediante un mapeo de funtores de la categoría espacial de Hilbert a la categoría de cobordismo.
Otra pregunta: ¿Obtendré diferentes amplitudes de dispersión si trato la electrodinámica cuántica con cobordismos en lugar del conocido marco espacial de Hilbert?
Quizás también sí, porque la cuantización es diferente.
Básicamente, está pidiendo que QED se formule como una teoría de campo cuántico funcional (FQFT). FQFT no es un método de cuantificación, es un método para reformular una teoría cuantificada en una forma axiomática rigurosa, pero hacer QED parece fuera de alcance por ahora:
El problema es que QED no es ni topológico ni conforme: la función de partición, que sería el funtor que asigna un cobordismo a una amplitud en este enfoque, no tiene un valor bien definido en un morfismo en la categoría de cobordismos, ya que los objetos de este categoría son habitualmente difeomorfismo (u homeomorfismo ) clases de variedades y morfismos entre dos de esas clases es la clase de equivalencia de un cobordismo con . La función de partición solo da un valor bien definido si para todos los demás en esta clase de equivalencia, pero esta es esencialmente la definición de una teoría de campo cuántica topológica , que QED no es.
Sin embargo, lo que puede hacer es debilitar las clases de equivalencia que estamos tomando: para una QFT relativista, debe tomar las clases de isometría de las variedades riemannianas como objetos y las clases de isometría de las variedades lorentzianas cuyos límites son los objetos como morfismos. Entonces, la integral de trayectoria de QED, si estuviera bien definida , daría amplitudes para estos cobordismos y la asignación de estados a los objetos (que deberíamos considerar como cortes espaciales) sería el espacio de estado "en ese momento". .
Pero, al final, no ha ganado nada aquí: no sabemos cómo hacer que la integral de ruta se comporte tan bien que realmente podamos definirla como un funtor en esta categoría de "cobordismos de Lorentzian", y cualquier cosa podría calcular aquí al final se reduce a cálculos "ordinarios" en QED con el formalismo de integral de ruta. No es evidente en absoluto cómo se pueden obtener diferentes predicciones a partir de la QFT estándar, dado que la única manera de definir el funtor es a partir de la integral de trayectoria estándar QFT. La razón por la que este formalismo tiene éxito en teorías topológicas y conformes es que la integral de trayectoria allí "degenera" en el cálculo de alguna invariante topológica del cobordismo, lo que puede hacerse por medios matemáticos rigurosos distintos de los físicos.