Gravedad cuántica en D = 3

La cuantificación de la gravedad (relatividad general) parece ser imposible para la dimensión del espacio-tiempo D >= 4. En cambio, la teoría de cuerdas describe la gravedad cuántica, que es algo más que la cuantificación (por ejemplo, introduce un número infinito de campos). Los enfoques más directos para la cuantización de la gravedad han fallado (mi opinión, no todos estarían de acuerdo en esto).

Sin embargo, la gravedad en dimensiones D < 4 es especial, porque es topológica (no tiene grados de libertad dinámicos localmente). Es posible cuantificar la gravedad acoplada a otros campos en D = 2: ¡de hecho, la teoría perturbativa de cuerdas es exactamente eso! ¿Qué pasa con D = 3? ¿Existen enfoques para la cuantificación de la gravedad (acoplados a otros campos) que hayan tenido más éxito en D = 3 que en D = 4?

Sí, esta pregunta tiene muchas capas y no podría cubrirlas todas. Pero la gravedad cuántica 3D ha sido atacada de muchas maneras: por AdS3/CFT2, que tiene algunas características especiales debido a la simetría Virasoro de CFT2 (la CFT dual de Witten para gravedad 3D pura implica una simetría monstruosa); por equivalencias con otras teorías topológicas, es decir, la teoría de Chern-Simons (que sólo se sostiene perturbativamente, etc.), y otras. La dinámica de la gravedad pura en 3D es aparentemente trivial.
Pero creo que lo que hemos aprendido es que cuando estudiamos el problema sin perturbaciones y con precisión, la simplicidad realmente desaparece, las fórmulas simplificadas y las equivalencias de la teoría de campos no funcionan, y todavía hay toda una estructura emergente que requiere una teoría. del "mismo grado de complejidad" que la teoría de cuerdas, si quiero evitar preguntas si, por ejemplo, los duales CFT de gravedad 3D pura son parte de la teoría de cuerdas o no.
Clásicamente, GR se puede escribir como una teoría BF, con una restricción de simplicidad en B. Mecánicamente cuántica, esto se puede hacer funcionar en 3D (es decir, cuantización canónica como un sistema restringido). Términos de Google: "Teoría de Turaev-Viro". Esto da el TQFT esperado.

Respuestas (1)

Dos comentarios rápidos:

Primero, no tener excitaciones perturbativas no es lo mismo que ser topológico, al menos con el uso convencional de estos términos.

En segundo lugar, si la cuantificación de la métrica "funciona" depende en gran medida de cuáles sean sus expectativas y las pruebas a las que somete su teoría, por lo que obtendrá diferentes historias de diferentes campos. Para la gravedad con CC negativo, el trabajo de Witten en http://arxiv.org/abs/0706.3359 y especialmente algunos seguimientos sugieren fuertemente que independientemente del truco que intente usar para cuantificar la gravedad, al final simplemente no hay una teoría cuántica con el dos propiedades:

  1. Reproduce el espectro correcto de los estados de los agujeros negros.
  2. Su límite clásico es la gravedad clásica pura.

Esto me parece un resultado independiente del modelo, que excluye muchos intentos anteriores, incluida la célebre contribución de Witten que puso en marcha la pelota. También podría ser que con CC cero o positivo el resultado sea diferente, pero personalmente no veo por qué los trucos que dan la respuesta incorrecta para CC negativo (para los cuales al menos sabemos qué preguntas están bien definidas) de alguna manera milagrosamente trabajar en un contexto mucho menos entendido.

Comentario rápido antes de entender el resto de la respuesta: creo que no tener excitaciones y ser invariante de difeomorfismo es lo mismo que ser topológico.
El calificativo "perturbativo" en mi declaración es importante.
Si está interesado en el estado de las cosas antes de la reconsideración de Witten anterior, puede consultar el libro de Carlip, "Quantum Gravity in 2+1 Dimensions". Se ha afirmado que la cuantización antigua de Witten (el segundo enlace de Moshe) a través de la teoría CS con un grupo de calibre no compacto es equivalente a varias técnicas LQG, pero la referencia real donde se hace parece ser difícil de rastrear.
Pero @Moshe, el resumen sugiere que "La teoría del monstruo puede ser la primera de una serie discreta de CFT que son duales a la gravedad tridimensional", por lo que aparentemente Witten cree que la gravedad cuántica 3D tiene sentido. ¿Qué me estoy perdiendo?
El límite clásico es el límite k grande, Witten encontró la teoría k=1, sujeta a la restricción 1 anterior. Artículos posteriores sugieren que k está acotado por un número relativamente pequeño, por lo que las teorías que producen el espectro del agujero negro correcto no tienen límite clásico. Esto esencialmente dice que no hay representaciones unitarias lo suficientemente grandes del grupo de simetría asintótica, cuyas funciones de partición invariantes modulares se ajustan al espectro de la degeneración del agujero negro.
O bien, puede comenzar con una teoría clásica que espera obtener como límite de alguna teoría cuántica y "cuantizarla", lo que significa hacer una ℏ (en este contexto 1/k) expansión a partir de esa teoría clásica. Ninguno de los métodos para obtener tal cuantización, todos los cuales implican bastantes conjeturas, obtienen el espectro de agujero negro correcto para CC negativo. La búsqueda fallida de una teoría cuántica con las propiedades correctas, algo que no destaca un método de "cuantificación", es probablemente la razón subyacente.
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